Lượng giác Ví dụ

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Bước 1

Phân tích $\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan^{4} (x)$ ở dạng ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Bước 1.2

Giả sử $u = \tan^{2} (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\tan^{2} (x)$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Bước 1.3

Phân tích $u^{2} - 20 u + 64$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $64$ và tổng của chúng là $- 20$ .

$- 16, - 4$

Bước 1.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Bước 1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Bước 1.5

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Bước 1.6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \tan (x)$ và $b = 4$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Bước 1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

Bước 1.8

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \tan (x)$ và $b = 2$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

Bước 1.8.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

Bước 3

Đặt $\tan (x) + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $\tan (x) + 4$ bằng với $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

Bước 3.2

Giải $\tan (x) + 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = - 4$

Bước 3.2.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 4)$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Tính $\arctan (- 4)$ .

$x = - 1.32581766$

Bước 3.2.4

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

Bước 3.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Cộng $2 π$ vào $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

Bước 3.2.5.2

Góc tìm được $1.81577498$ dương và có cùng cạnh cuối với $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = 1.81577498$

Bước 3.2.6

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 3.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 3.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 3.2.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 3.2.7

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Cộng $π$ vào $- 1.32581766$ để tìm góc dương.

$- 1.32581766 + π$

Bước 3.2.7.2

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

$3.14159265 - 1.32581766$

Bước 3.2.7.3

Trừ $1.32581766$ khỏi $3.14159265$ .

$1.81577498$

Bước 3.2.7.4

Liệt kê các góc mới.

$x = 1.81577498$

Bước 3.2.8

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Đặt $\tan (x) - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\tan (x) - 4$ bằng với $0$ .

$\tan (x) - 4 = 0$

Bước 4.2

Giải $\tan (x) - 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = 4$

Bước 4.2.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (4)$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Tính $\arctan (4)$ .

$x = 1.32581766$

Bước 4.2.4

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Bước 4.2.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

Bước 4.2.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Bước 4.2.5.3

Cộng $3.14159265$ và $1.32581766$ .

$x = 4.46741031$

Bước 4.2.6

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 4.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 4.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 4.2.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 4.2.7

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đặt $\tan (x) + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\tan (x) + 2$ bằng với $0$ .

$\tan (x) + 2 = 0$

Bước 5.2

Giải $\tan (x) + 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = - 2$

Bước 5.2.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 2)$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Tính $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Bước 5.2.4

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Bước 5.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $2 π$ vào $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Bước 5.2.5.2

Góc tìm được $2.03444393$ dương và có cùng cạnh cuối với $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Bước 5.2.6

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.2.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.2.7

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Cộng $π$ vào $- 1.10714871$ để tìm góc dương.

$- 1.10714871 + π$

Bước 5.2.7.2

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

$3.14159265 - 1.10714871$

Bước 5.2.7.3

Trừ $1.10714871$ khỏi $3.14159265$ .

$2.03444393$

Bước 5.2.7.4

Liệt kê các góc mới.

$x = 2.03444393$

Bước 5.2.8

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $\tan (x) - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\tan (x) - 2$ bằng với $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Bước 6.2

Giải $\tan (x) - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = 2$

Bước 6.2.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (2)$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Tính $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Bước 6.2.4

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Bước 6.2.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Bước 6.2.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Bước 6.2.5.3

Cộng $3.14159265$ và $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Bước 6.2.6

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 6.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 6.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 6.2.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 6.2.7

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ đúng.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất các câu trả lời.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hợp nhất $1.81577498 + π n$ và $1.81577498 + π n$ để $1.81577498 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8.2

Hợp nhất $1.32581766 + π n$ và $4.46741031 + π n$ để $1.32581766 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8.3

Hợp nhất $2.03444393 + π n$ và $2.03444393 + π n$ để $2.03444393 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8.4

Hợp nhất $1.10714871 + π n$ và $4.24874137 + π n$ để $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$