Lượng giác Ví dụ

$\frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)}$

Bước 1.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 2

Để viết $\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 3

Để viết $\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ với $\frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ với $\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + \frac{\sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{\sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.4

Nhân $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Kết hợp $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.4.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos (x) - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.6

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + \sin (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.8

Nhân $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.8.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.8.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 6.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 7.2

Tách các phân số.

$\frac{\cos (x) - (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 7.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x) - (\frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 7.4

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\frac{\cos (x) - (\cos (x) \cot (x)) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 7.5

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 7.6

Tách các phân số.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 7.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x))}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 7.8

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Bước 8.2

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))}$