Lượng giác Ví dụ

$\sin (x) - \cos (x) = 1$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức lượng giác để giải phương trình. Trong đẳng thức này, $θ$ đại diện cho góc được tạo ra bằng cách vẽ điểm $(a, b)$ trên đồ thị và do đó có thể tìm được bằng $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ trong đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ và $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Bước 2

Lập phương trình để tìm giá trị của $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Bước 3

Lấy nghịch đảo tang để giải phương trình tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\tan^{-1} (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Bước 4

Giải để tìm giá trị của $R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Bước 4.3

Cộng $1$ và $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Bước 5

Thay các giá trị đã biết vào phương trình.

$(\sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ cho $\sqrt{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ cho $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $\sin (x - \frac{π}{4})$ cho $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 6.3.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 6.3.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 6.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 6.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 6.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 6.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 7

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Bước 9

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 9.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π + π}{4}$

Bước 9.3

Cộng $π$ và $π$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Bước 9.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Bước 9.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Bước 9.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Bước 9.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{π}{2}$

Bước 10

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4}$

Bước 11

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn $π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 11.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 11.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 11.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 11.1.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Bước 11.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 11.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{3 π + π}{4}$

Bước 11.2.3

Cộng $3 π$ và $π$ .

$x = \frac{4 π}{4}$

Bước 11.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{4 π}{4}$

Bước 11.2.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$x = π$

Bước 12

Tìm chu kỳ của $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13

Chu kỳ của hàm $\sin (x - \frac{π}{4})$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$