Lượng giác Ví dụ

tan (\frac{π}{12})

$\tan (\frac{π}{12})$

Bước 1

Đầu tiên, chia một góc thành hai góc nơi các giác trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết. Trong trường hợp này,

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ có thể được chia thành

\frac{π}{3} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ .

tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

Bước 2

Sử dụng công thức hiệu cho tang để rút gọn biểu thức. Công thức nói rằng

tan (A - B) = \frac{tan (A) - tan (B)}{1 + tan (A) tan (B)}

$\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

\frac{tan (\frac{π}{3}) - tan (\frac{π}{4})}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

\frac{tan (\frac{π}{3}) - tan (\frac{π}{4})}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Giá trị chính xác của

tan (\frac{π}{3})

$\tan (\frac{π}{3})$ là

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\frac{\sqrt{3} - tan (\frac{π}{4})}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 4.2

Giá trị chính xác của

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ là

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 4.3

Nhân

- 1

$- 1$ với

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + tan (\frac{π}{3}) tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị chính xác của

tan (\frac{π}{3})

$\tan (\frac{π}{3})$ là

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} tan (\frac{π}{4})}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 5.2

Giá trị chính xác của

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ là

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Bước 5.3

Nhân

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ với

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Bước 6

Nhân

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ với

\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân

\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ với

\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}

$\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Bước 7.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn.

\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa

- 1

$- 1$ ra ngoài

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 8.2

Viết lại

- 1

$- 1$ ở dạng

- 1 (1)

$- 1 (1)$ .

\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 8.3

Đưa

- 1

$- 1$ ra ngoài

- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)

$- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 8.4

Sắp xếp lại các số hạng.

\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 8.5

Nâng

1 - \sqrt{3}

$1 - \sqrt{3}$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 8.6

Nâng

1 - \sqrt{3}

$1 - \sqrt{3}$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Bước 8.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Bước 8.8

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Bước 9

Viết lại

{(1 - \sqrt{3})}^{2}

${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ ở dạng

(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})

$(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 10

Khai triển

(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})

$(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 11

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân

1

$1$ với

1

$1$ .

\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 11.1.2

Nhân

- \sqrt{3}

$- \sqrt{3}$ với

1

$1$ .

\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 11.1.3

Nhân

- 1

$- 1$ với

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 11.1.4

Nhân

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.4.1

Nhân

$- 1$ với

$- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 11.1.4.2

Nhân

$\sqrt{3}$ với

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 11.1.4.3

Nâng

$\sqrt{3}$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 11.1.4.4

Nâng

$\sqrt{3}$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Bước 11.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Bước 11.1.4.6

Cộng

$1$ và

$1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Bước 11.1.5

Viết lại

${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.5.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{3}$ ở dạng

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Bước 11.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Bước 11.1.5.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Bước 11.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Bước 11.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Bước 11.1.5.5

Tính số mũ.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Bước 11.2

Cộng

$1$ và

$3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 11.3

Trừ

$\sqrt{3}$ khỏi

$- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung của

$4 - 2 \sqrt{3}$ và

$- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Bước 12.2

Chuyển âm một từ mẫu số của

$\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Bước 13

Viết lại

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ ở dạng

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Bước 14

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Bước 15

Nhân

$- 1$ với

$2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Bước 16

Nhân

$- 1 (- \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nhân

$- 1$ với

$- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Bước 16.2

Nhân

$\sqrt{3}$ với

$1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Bước 17

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Bước 18

Nhân

$- 1$ với

$- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Bước 19

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 - \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$0.26794919 \dots$