Lượng giác Ví dụ

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức lượng giác để giải phương trình. Trong đẳng thức này, $θ$ đại diện cho góc được tạo ra bằng cách vẽ điểm $(a, b)$ trên đồ thị và do đó có thể tìm được bằng $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ trong đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ và $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Bước 2

Lập phương trình để tìm giá trị của $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Bước 3

Lấy nghịch đảo tang để giải phương trình tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\tan^{-1} (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Bước 4

Giải để tìm giá trị của $R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Bước 4.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

Bước 4.3

Cộng $9$ và $9$ .

$R = \sqrt{18}$

Bước 4.4

Viết lại $18$ ở dạng $3^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $18$ .

$R = \sqrt{9 (2)}$

Bước 4.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Bước 4.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$R = 3 \sqrt{2}$

Bước 5

Thay các giá trị đã biết vào phương trình.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ cho $3 \sqrt{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ cho $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Bước 6.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Bước 6.2.2.2

Chia $\sin (x - \frac{π}{4})$ cho $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 6.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 6.3.2.2

Di chuyển $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 6.3.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Bước 6.3.2.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Bước 6.3.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 6.3.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 6.3.2.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.3.2.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.3.2.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Bước 6.3.2.7.5

Tính số mũ.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Bước 6.3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Bước 7

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

Bước 8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

Bước 9

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

Bước 9.2

Cộng $0.23794112$ và $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

Bước 10

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

Bước 11

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Trừ $0.23794112$ khỏi $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

Bước 11.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

Bước 11.2.2

Cộng $2.90365152$ và $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

Bước 12

Tìm chu kỳ của $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 13

Chu kỳ của hàm $\sin (x - \frac{π}{4})$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$