Lượng giác Ví dụ

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Bước 1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Bước 1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

Bước 2

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ với liên hợp của $0.8660254 + 0.5 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Bước 3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.1.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.5

Khai triển $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1.1

Nhân $0.8660254$ với $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.2

Nhân $- 0.5 i$ với $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.3

Nhân $0.8660254$ với $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.4

Di chuyển $1.5$ sang phía bên trái của $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.5

Nhân $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1.5.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.5.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.5.5

Nhân $- 0.5$ với $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.6

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.1.7

Nhân $- 0.8660254$ với $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.2

Cộng $0.8660254$ và $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.2.6.3

Cộng $- 0.5 i$ và $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Bước 3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $0.8660254$ với $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 0.5$ với $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Bước 3.3.2.3

Nhân $0.8660254$ với $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Bước 3.3.2.4

Nhân $- 0.5$ với $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Bước 3.3.2.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Bước 3.3.2.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Bước 3.3.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Bước 3.3.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Bước 3.3.2.9

Cộng $- 0.4330127 i$ và $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Bước 3.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $0$ với $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Bước 3.3.3.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Bước 3.3.3.3

Nhân $- 0.25$ với $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Bước 3.3.4

Cộng $0.75$ và $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

Bước 3.3.5

Cộng $0.75$ và $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Bước 4

Viết lại $1.7320508$ ở dạng $1 (1.7320508)$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

Bước 5

Đưa $1$ ra ngoài $1 i$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

Bước 6

Đưa $1$ ra ngoài $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

Bước 7

Đưa $1$ ra ngoài $1$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

Bước 8

Tách các phân số.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia $1$ cho $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Bước 9.2

Chia $1.7320508 + 1 i$ cho $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

Bước 10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

Bước 11

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $1$ với $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

Bước 11.2

Nhân $1$ với $1$ .

$1.7320508 + 1 i$

Bước 12

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 13

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 14

Thay các giá trị thực tế của $a = 1.7320508$ và $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

Bước 15

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

Bước 15.2

Nâng $1.7320508$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

Bước 15.3

Cộng $1$ và $3$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Bước 15.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Bước 15.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 2$

Bước 16

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

Bước 17

Vì tang nghịch đảo của $\frac{1}{1.7320508}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ nhất, giá trị của góc là $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Bước 18

Thay các giá trị của $θ = \frac{π}{6}$ và $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$