Lượng giác Ví dụ

$\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a = \frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ và $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Bước 4

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x)}}$

Bước 4.3

Nhân với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

Bước 4.4

Tách các phân số.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 x)}}$

Bước 4.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ sang $\csc^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Chia ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ cho $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 - \cos (2 x))}^{2} \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.6.2

Viết lại ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ ở dạng $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.7

Khai triển $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.1.2

Nhân $- \cos (2 x)$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.1.4

Nhân $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.1.4.2

Nhân $\cos (2 x)$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.1.4.3

Nâng $\cos (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.1.4.4

Nâng $\cos (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.8.2

Trừ $\cos (2 x)$ khỏi $- \cos (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Nhân $\csc^{2} (2 x)$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

Bước 4.10.2

Viết lại $\csc (2 x)$ theo sin và cosin.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Bước 4.10.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)})}$

Bước 4.10.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1}{\sin^{2} (2 x)})}$

Bước 4.10.5

Kết hợp $\cos^{2} (2 x)$ và $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}$

Bước 4.11

Quy đổi từ $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ sang $\cot^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

Bước 4.12

Cộng $0$ và $\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$

Bước 6

Thay các giá trị của $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$ và $| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$ .

$\sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)} (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})))$