Lượng giác Ví dụ

$\sqrt{3} + 3 i$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a = \sqrt{3}$ và $b = 3$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{9 + 3}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{9 + 3}$

Bước 4.3

Cộng $9$ và $3$ .

$| z | = \sqrt{12}$

Bước 4.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$| z | = \sqrt{4 (3)}$

Bước 4.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Bước 4.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| z | = 2 \sqrt{3}$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{3}{\sqrt{3}})$

Bước 6

Vì tang nghịch đảo của $\frac{3}{\sqrt{3}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ nhất, giá trị của góc là $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Bước 7

Thay các giá trị của $θ = \frac{π}{3}$ và $| z | = 2 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$