Lượng giác Ví dụ

$- \frac{1}{1 + i}$

Bước 1

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{1}{1 + 1 i}$ với liên hợp của $1 + 1 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

Bước 2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Bước 2.2

Nhân $1 - i$ với $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Bước 2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Khai triển $(1 + 1 i) (1 - i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Bước 2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Bước 2.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Bước 2.3.2.3

Nhân $1$ với $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Bước 2.3.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Bước 2.3.2.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Bước 2.3.2.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Bước 2.3.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Bước 2.3.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Bước 2.3.2.9

Cộng $- 1 i$ và $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

Bước 2.3.2.10

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

Bước 2.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

Bước 2.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

Bước 2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

Bước 3

Tách phân số $\frac{1 - i}{2}$ thành hai phân số.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

Bước 4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Bước 5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

Bước 6

Nhân $- - \frac{i}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

Bước 6.2

Nhân $\frac{i}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Bước 7

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 8

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 9

Thay các giá trị thực tế của $a = - \frac{1}{2}$ và $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 10

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 10.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 10.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Bước 10.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Bước 10.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Bước 10.5.2

Nhân $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Bước 10.5.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Bước 10.5.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Bước 10.5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Bước 10.5.6

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

Bước 10.6

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Bước 10.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 10.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 10.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 10.7

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 10.8

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 10.9

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 10.10

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 10.10.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 10.10.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 10.10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 10.10.5

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 10.10.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 10.10.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 10.10.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.10.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.10.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 10.10.6.5

Tính số mũ.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 11

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Bước 12

Vì tang nghịch đảo của $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ hai, giá trị của góc là $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Bước 13

Thay các giá trị của $θ = \frac{3 π}{4}$ và $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$