Lượng giác Ví dụ

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ và $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Bước 4

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

Bước 4.3

Nhân với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

Bước 4.4

Tách các phân số.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

Bước 4.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ sang $\csc^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Chia ${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ cho $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.6.2

Viết lại ${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ ở dạng $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.7

Khai triển $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.8.1.2

Nhân $\cos (2 y)$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.8.1.3

Nhân $\cos (2 y)$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.8.1.4

Nhân $\cos (2 y) \cos (2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.4.1

Nâng $\cos (2 y)$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.8.1.4.2

Nâng $\cos (2 y)$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.8.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.8.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.8.2

Cộng $\cos (2 y)$ và $\cos (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Nhân $\csc^{2} (2 y)$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Bước 4.10.2

Viết lại $\csc (2 y)$ theo sin và cosin.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Bước 4.10.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

Bước 4.10.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

Bước 4.10.5

Kết hợp $\cos^{2} (2 y)$ và $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

Bước 4.11

Quy đổi từ $\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ sang $\cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Bước 4.12

Cộng $0$ và $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Bước 4.13

Viết lại $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Viết lại số hạng ở giữa.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

Bước 4.13.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Bước 4.13.3

Phân tích ba số hạng đầu tiên thành thừa số theo quy tắc số chính phương.

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

Bước 4.13.4

Viết lại ${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ ở dạng $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Bước 4.13.5

Khai triển $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Bước 4.13.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Bước 4.13.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.6.1.1

Nhân $\csc (2 y) \csc (2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.6.1.1.1

Nâng $\csc (2 y)$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6.1.1.2

Nâng $\csc (2 y)$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6.1.2

Nhân $\cot (2 y) \cot (2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.6.1.2.1

Nâng $\cot (2 y)$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6.1.2.2

Nâng $\cot (2 y)$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

Bước 4.13.6.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\csc (2 y) \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Bước 4.13.6.3

Cộng $\cot (2 y) \csc (2 y)$ và $\cot (2 y) \csc (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Bước 4.13.7

Cộng $\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ và $0$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Bước 4.13.8

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.8.1

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

Bước 4.13.8.2

Viết lại đa thức này.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Bước 4.13.8.3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = \csc (2 y)$ và $b = \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

Bước 4.14

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

Bước 6

Thay các giá trị của $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ và $| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ .

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$