Lượng giác Ví dụ

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$ , $\tan (θ) < 0$

Bước 1

The tangent function is negative in the second and fourth quadrants. The sine function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Nghiệm nằm trong góc phần tư thứ hai.

Bước 2

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm các cạnh đã biết của tam giác vuông nội tiếp đường tròn đơn vị. Góc phần tư xác định dấu của mỗi giá trị.

$\sin (θ) = \frac{đối diện}{cạnh huyền}$

Bước 3

Tìm cạnh kề của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị. Vì cạnh huyền và cạnh đối đã biết, ta sử dụng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

$Góc kề = - \sqrt{{cạnh huyền}^{2} - {đối diện}^{2}}$

Bước 4

Thay thế các giá trị đã biết trong phương trình.

$Góc kề = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn phần bên trong căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Làm $\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$ âm.

Cạnh kề $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh kề $= - \sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh kề $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Bước 5.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

Cạnh kề $= - \sqrt{9 - 4}$

Bước 5.5

Trừ $4$ khỏi $9$ .

Cạnh kề $= - \sqrt{5}$

Bước 6

Tìm cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng định nghĩa của cosin để tìm giá trị của $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Bước 6.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{3}$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

Bước 7

Tìm tang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng định nghĩa của tang để tìm giá trị của $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Bước 7.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\tan (θ) = \frac{2}{- \sqrt{5}}$

Bước 7.3

Rút gọn giá trị của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\tan (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Bước 7.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 7.3.3.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 7.3.3.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 7.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 7.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 7.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Bước 7.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Bước 8

Tìm cotang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng định nghĩa của cotang để tìm giá trị của $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Bước 8.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2}$

Bước 8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Bước 9

Tìm secant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng định nghĩa của secant để tìm giá trị của $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Bước 9.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sec (θ) = \frac{3}{- \sqrt{5}}$

Bước 9.3

Rút gọn giá trị của $\sec (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sec (θ) = - \frac{3}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{3}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{3}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Bước 10

Tìm cosecant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng định nghĩa của cosecant để tìm giá trị của $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Bước 10.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\csc (θ) = \frac{3}{2}$

Bước 11

Đây là đáp án cho mỗi giá trị lượng giác.

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

$\csc (θ) = \frac{3}{2}$