Lượng giác Ví dụ

$\sec (θ) = - 3$ , $\tan (θ) > 0$

Bước 1

The tangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Nghiệm nằm trong góc phần tư thứ ba.

Bước 2

Sử dụng định nghĩa của secant để tìm các cạnh đã biết của tam giác vuông nội tiếp đường tròn đơn vị. Góc phần tư xác định dấu của mỗi giá trị.

$\sec (θ) = \frac{cạnh huyền}{kề}$

Bước 3

Tìm cạnh đối của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị. Vì cạnh kề và cạnh huyền đã biết, ta dùng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

$Đối = - \sqrt{{cạnh huyền}^{2} - {kề}^{2}}$

Bước 4

Thay thế các giá trị đã biết trong phương trình.

$Đối = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn phần bên trong căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Làm $\sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ âm.

Cạnh đối $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{9 - {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{9 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

Cạnh đối $= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Bước 5.3.2

Cộng $1$ và $2$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{3}}$

Bước 5.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{9 - 1}$

Bước 5.5

Trừ $1$ khỏi $9$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{8}$

Bước 5.6

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{4 (2)}$

Bước 5.6.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 5.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

Cạnh đối $= - (2 \sqrt{2})$

Bước 5.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

Cạnh đối $= - 2 \sqrt{2}$

Bước 6

Tìm sin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm giá trị của $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Bước 6.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sin (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Bước 7

Tìm cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng định nghĩa của cosin để tìm giá trị của $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Bước 7.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{3}$

Bước 7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

Bước 8

Tìm tang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng định nghĩa của tang để tìm giá trị của $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Bước 8.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 1}$

Bước 8.3

Rút gọn giá trị của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$\tan (θ) = - 1 \cdot (- 2 \sqrt{2})$

Bước 8.3.2

Viết lại $- 1 \cdot (- 2 \sqrt{2})$ ở dạng $- (- 2 \sqrt{2})$ .

$\tan (θ) = - (- 2 \sqrt{2})$

Bước 8.3.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\tan (θ) = 2 \sqrt{2}$

Bước 9

Tìm cotang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng định nghĩa của cotang để tìm giá trị của $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Bước 9.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2 \sqrt{2}}$

Bước 9.3

Rút gọn giá trị của $\cot (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\cot (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 9.3.3.2

Di chuyển $\sqrt{2}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 9.3.3.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 9.3.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 9.3.3.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.3.3.7.5

Tính số mũ.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Bước 10

Tìm cosecant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng định nghĩa của cosecant để tìm giá trị của $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Bước 10.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

Bước 10.3

Rút gọn giá trị của $\csc (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\csc (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Bước 10.3.2

Nhân $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Bước 10.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Nhân $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 10.3.3.2

Di chuyển $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 10.3.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 10.3.3.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 10.3.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 10.3.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 10.3.3.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 10.3.3.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 10.3.3.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.3.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.3.3.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 10.3.3.7.5

Tính số mũ.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 10.3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Bước 11

Đây là đáp án cho mỗi giá trị lượng giác.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = - 3$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$