Lượng giác Ví dụ

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 2

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 3.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

Bước 4

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

Bước 5

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Khai triển $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2.1.2

Nhân $- \sin (x)$ với $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2.1.3

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2.1.4

Nhân $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.4.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2.1.4.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2.2

Cộng $- \sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Bước 6.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Bước 6.3

Cộng $- {\sin (x)}^{2}$ và $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 7

Viết $- \sin^{2} (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để viết $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.2

Nhân $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 9

Rút gọn tử số.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Bước 10

Xét vế trái của phương trình.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Bước 11

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Bước 11.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Bước 12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Bước 13

Viết $- \sin^{2} (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Bước 14

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Để viết $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 14.2

Nhân $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 14.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 15

Rút gọn tử số.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Bước 16

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ là một đẳng thức