Lượng giác Ví dụ

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Bước 1

Thay thế $2 \sec^{2} (θ)$ bằng $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ dựa trên đẳng thức $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Bước 3

Sắp xếp lại đa thức.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Bước 4

Thay $u = \tan^{2} (θ)$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Bước 5

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Bước 6

Cộng $2$ và $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Bước 7

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u^{2} + 2 u + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Bước 7.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Bước 7.1.3

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 7.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 7.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Bước 7.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Phân tích $u^{2} - 2 u - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 7.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Bước 7.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Bước 8

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 9

Đặt $u - 3$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $u - 3$ bằng với $0$ .

$u - 3 = 0$

Bước 9.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 3$

Bước 10

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 10.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 11

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (u - 3) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = 3, - 1$

Bước 12

Thay giá trị thực tế của $u = \tan^{2} (θ)$ trở lại vào phương trình đã giải.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Bước 13

Giải phương trình đầu tiên để tìm $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Bước 14

Giải phương trình để tìm $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Bước 14.2

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Bước 14.2.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Bước 14.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 15

Giải phương trình thứ hai để tìm $\tan (θ)$ .

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Bước 16

Giải phương trình để tìm $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Bước 16.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 16.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

Bước 16.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\tan (θ) = i$

Bước 16.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\tan (θ) = - i$

Bước 16.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\tan (θ) = i, - i$

Bước 17

Đáp án cho $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ là $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Bước 18

Lập từng đáp án để giải tìm $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Bước 19

Giải tìm $θ$ trong $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm tang.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Bước 19.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (\sqrt{3})$ là $60$ .

$θ = 60$

Bước 19.3

Hàm tang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $180$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = 180 + 60$

Bước 19.4

Cộng $180$ và $60$ .

$θ = 240$

Bước 19.5

Tìm chu kỳ của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Bước 19.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{180}{| 1 |}$

Bước 19.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{180}{1}$

Bước 19.5.4

Chia $180$ cho $1$ .

$180$

Bước 19.6

Chu kỳ của hàm $\tan (θ)$ là $180$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $180$ độ theo cả hai hướng.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 20

Giải tìm $θ$ trong $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm tang.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Bước 20.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- \sqrt{3})$ là $- 60$ .

$θ = - 60$

Bước 20.3

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $180$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$θ = - 60 - 180$

Bước 20.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.4.1

Cộng $360 °$ vào $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

Bước 20.4.2

Góc tìm được $120 °$ dương và có cùng cạnh cuối với $- 60 - 180$ .

$θ = 120 °$

Bước 20.5

Tìm chu kỳ của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Bước 20.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{180}{| 1 |}$

Bước 20.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{180}{1}$

Bước 20.5.4

Chia $180$ cho $1$ .

$180$

Bước 20.6

Cộng $180$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.6.1

Cộng $180$ vào $- 60$ để tìm góc dương.

$- 60 + 180$

Bước 20.6.2

Trừ $60$ khỏi $180$ .

$120$

Bước 20.6.3

Liệt kê các góc mới.

$θ = 120$

Bước 20.7

Chu kỳ của hàm $\tan (θ)$ là $180$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $180$ độ theo cả hai hướng.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 21

Giải tìm $θ$ trong $\tan (θ) = i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm tang.

$θ = \arctan (i)$

Bước 21.2

Tiếp tuyến ngược của $\arctan (i)$ không xác định được.

Không xác định

Bước 22

Giải tìm $θ$ trong $\tan (θ) = - i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm tang.

$θ = \arctan (- i)$

Bước 22.2

Tiếp tuyến ngược của $\arctan (- i)$ không xác định được.

Không xác định

Bước 23

Liệt kê tất cả các đáp án.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 24

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Hợp nhất $60 + 180 n$ và $240 + 180 n$ để $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 24.2

Hợp nhất $120 + 180 n$ và $120 + 180 n$ để $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , cho mọi số nguyên $n$