Thống kê Ví dụ

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.2 \\ 3 & 0.2 \\ 5 & 0.3 \\ 8 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \end{array}$

Step 1

Chứng minh rằng bảng đã cho thỏa mãn hai tính chất cần thiết cho một phân phối xác suất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một biến ngẫu nhiên rời rạc $x$ có giá trị là một tập hợp các giá trị riêng biệt (chẳng hạn như $0$ , $1$ , $2$ ...). Phân phối xác suất của nó gán xác suất $P (x)$ cho mỗi giá trị $x$ có thể có. Đối với mỗi $x$ , xác suất $P (x)$ nằm trong khoảng $0$ và bao gồm $1$ và tổng các xác suất cho tất cả các giá trị $x$ có thể có bằng $1$ .

1. với mỗi $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

$0.2$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.2$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

$0.3$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.3$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

$0.1$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.1$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

$0.2$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.2$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

với mỗi $x$ , xác suất $P (x)$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất đầu tiên của phân phối xác suất.

$0 \leq P (x) \leq 1$ cho tất cả các giá trị của x

Tìm tổng của xác suất cho tất cả các giá trị $x$ có thể có.

$0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2$

Tổng xác suất của tất cả các giá trị $x$ có thể có là $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $0.2$ và $0.2$ .

$0.4 + 0.3 + 0.1 + 0.2$

Cộng $0.4$ và $0.3$ .

$0.7 + 0.1 + 0.2$

Cộng $0.7$ và $0.1$ .

$0.8 + 0.2$

Cộng $0.8$ và $0.2$ .

$1$

Đối với mỗi $x$ , xác suất của $P (x)$ nằm ở giữa $0$ và bao gồm $1$ . Ngoài ra, tổng xác suất của tất cả $x$ có thể có bằng $1$ , có nghĩa là bảng thỏa hai tính chất của một phân phối xác suất.

Bảng thỏa hai tính chất của một phân phối xác suất:

Tính chất 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ đối với tất cả các giá trị $x$

Tính chất 2: $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$

Bảng thỏa hai tính chất của một phân phối xác suất:

Tính chất 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ đối với tất cả các giá trị $x$

Tính chất 2: $0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 1$

Step 2

Giá trị trung bình kỳ vọng của một phân phối là giá trị được kỳ vọng nếu các phép thử của phân phối có thể tiếp tục vô hạn. Nó được tính bằng cách lấy từng giá trị nhân với xác suất rời rạc của nó.

$1 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

Step 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $0.2$ với $1$ .

$0.2 + 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

Nhân $3$ với $0.2$ .

$0.2 + 0.6 + 5 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

Nhân $5$ với $0.3$ .

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 8 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2$

Nhân $8$ với $0.1$ .

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 10 \cdot 0.2$

Nhân $10$ với $0.2$ .

$0.2 + 0.6 + 1.5 + 0.8 + 2$

Step 4

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $0.2$ và $0.6$ .

$0.8 + 1.5 + 0.8 + 2$

Cộng $0.8$ và $1.5$ .

$2.3 + 0.8 + 2$

Cộng $2.3$ và $0.8$ .

$3.1 + 2$

Cộng $3.1$ và $2$ .

$5.1$

Step 5

Độ lệch chuẩn của một phân phối là thước đo độ phân tán của các giá trị và bằng căn bậc hai của phương sai.

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Step 6

Điền vào các giá trị đã biết.

$\sqrt{{(1 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Step 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $5.1$ .

$\sqrt{{(1 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Trừ $5.1$ khỏi $1$ .

$\sqrt{{(- 4.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nâng $- 4.1$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16.81 \cdot 0.2 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nhân $16.81$ với $0.2$ .

$\sqrt{3.362 + {(3 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nhân $- 1$ với $5.1$ .

$\sqrt{3.362 + {(3 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Trừ $5.1$ khỏi $3$ .

$\sqrt{3.362 + {(- 2.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nâng $- 2.1$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{3.362 + 4.41 \cdot 0.2 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nhân $4.41$ với $0.2$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - (5.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nhân $- 1$ với $5.1$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(5 - 5.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Trừ $5.1$ khỏi $5$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nâng $- 0.1$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.01 \cdot 0.3 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nhân $0.01$ với $0.3$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - (5.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nhân $- 1$ với $5.1$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {(8 - 5.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Trừ $5.1$ khỏi $8$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nâng $2.9$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nhân $8.41$ với $0.1$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - (5.1))}^{2} \cdot 0.2}$

Nhân $- 1$ với $5.1$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {(10 - 5.1)}^{2} \cdot 0.2}$

Trừ $5.1$ khỏi $10$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + {4.9}^{2} \cdot 0.2}$

Nâng $4.9$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 24.01 \cdot 0.2}$

Nhân $24.01$ với $0.2$ .

$\sqrt{3.362 + 0.882 + 0.003 + 0.841 + 4.802}$

Cộng $3.362$ và $0.882$ .

$\sqrt{4.244 + 0.003 + 0.841 + 4.802}$

Cộng $4.244$ và $0.003$ .

$\sqrt{4.247 + 0.841 + 4.802}$

Cộng $4.247$ và $0.841$ .

$\sqrt{5.088 + 4.802}$

Cộng $5.088$ và $4.802$ .

$\sqrt{9.89}$

Step 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\sqrt{9.89}$

Dạng thập phân:

$3.14483703 \dots$