Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y^{2} - 12 x + 8 y = - 40$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 12 x + 8 y = - 40 - y^{2}$

Bước 1.1.1.2

Trừ $8 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$ cho $- 12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$ cho $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 40$ và $- 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 40$ .

$x = \frac{- 4 (10)}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 12$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 10}{- 4 \cdot 3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{- 4 \cdot 10}{- 4 \cdot 3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{10}{3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Bước 1.1.2.3.1.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Bước 1.1.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $- 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.3.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 8 y$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 12}$

Bước 1.1.2.3.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.3.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 12$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 (3)}$

Bước 1.1.2.3.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 \cdot 3}$

Bước 1.1.2.3.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3}$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $\frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển $\frac{10}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{10}{3}$

Bước 1.2.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{10}{3}$

Bước 1.2.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

Bước 1.2.4.2.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{\frac{1}{12}}$ .

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.4.2.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{\frac{3}{12}}$

Bước 1.2.4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{12}}$

Bước 1.2.4.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

Bước 1.2.4.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

Bước 1.2.4.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Bước 1.2.4.2.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = 1 \cdot 4$

Bước 1.2.4.2.7

Nhân $4$ với $1$ .

$d = 4$

Bước 1.2.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.5.2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.5.2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.5.2.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{12}}$

Bước 1.2.5.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Bước 1.2.5.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 1.2.5.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 1.2.5.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2.5.2.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{9} \cdot 3)$

Bước 1.2.5.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot 3)$

Bước 1.2.5.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Bước 1.2.5.2.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$e = \frac{10}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 1.2.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{10 - 4}{3}$

Bước 1.2.5.2.3

Trừ $4$ khỏi $10$ .

$e = \frac{6}{3}$

Bước 1.2.5.2.4

Chia $6$ cho $3$ .

$e = 2$

Bước 1.2.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $\frac{1}{12} {(y + 4)}^{2} + 2$ .

$\frac{1}{12} {(y + 4)}^{2} + 2$

Bước 1.3

Đặt $x$ bằng với vế phải mới.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y + 4)}^{2} + 2$

Bước 2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = 2$

$k = - 4$

Bước 3

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(2, - 4)$

Bước 4