Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Bước 2.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.3

Cộng $4$ và $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.3

Cộng $4$ và $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Bước 2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.3

Cộng $4$ và $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Bước 2.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Bước 2.7

Hợp nhất các đáp án.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Bước 2.8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

Bước 2.9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 1 - \sqrt{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 1 - \sqrt{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3$

Bước 2.9.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

Bước 2.9.1.3

Vế trái $13$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.9.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

Bước 2.9.2.3

Vế trái $- 2$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.9.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1 + \sqrt{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1 + \sqrt{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 5$

Bước 2.9.3.2

Thay thế $x$ bằng $5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

Bước 2.9.3.3

Vế trái $13$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.9.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 1 - \sqrt{3}$ Đúng

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Sai

$x > 1 + \sqrt{3}$ Đúng

$x < 1 - \sqrt{3}$ Đúng

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Sai

$x > 1 + \sqrt{3}$ Đúng

Bước 2.10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ hoặc $x \geq 1 + \sqrt{3}$

Bước 3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{2 x - 3}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$2 x - 3 \geq 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$2 x \geq 3$

Bước 4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x \geq 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x \geq 3$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Bước 4.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

Bước 6