Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ không xác định.

$x = - 3, x = 0$

Bước 2

Vì $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $- 3$ từ phía bên trái và $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $- 3$ từ phía bên phải, thì $x = - 3$ là một tiệm cận đứng.

$x = - 3$

Bước 3

Vì $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên trái và $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên phải, thì $x = 0$ là một tiệm cận đứng.

$x = 0$

Bước 4

Liệt kê tất cả các tiệm cận đứng:

$x = - 3, 0$

Bước 5

Xét hàm số hữu tỉ $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ trong đó $n$ là bậc của tử số và $m$ là bậc của mẫu số.

1. Nếu $n < m$ , thì trục x, $y = 0$ , là tiệm cận ngang.

2. Nếu $n = m$ , thì tiệm cận ngang là đường $y = \frac{a}{b}$ .

3. Nếu $n > m$ , thì không có tiệm cận ngang (có một tiệm cận xiên).

Bước 6

Tìm $n$ và $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Bước 7

Vì $n > m$ , nên không có tiệm cận ngang.

Không có các tiệm cận ngang

Bước 8

Tìm tiệm cận xiên bằng cách sử dụng phép chia đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

Bước 8.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Bước 8.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Bước 8.1.1.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

Bước 8.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

Bước 8.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Bước 8.1.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Bước 8.2

Khai triển $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.7

Sắp xếp lại $x$ và $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.8

Sắp xếp lại $x$ và $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.9

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.10

Nhân $- 1$ với $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.13

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.14

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.15

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.16

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.17

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.18

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.19

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.20

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.21

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.22

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.23

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.24

Di chuyển $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.25

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.26

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.27

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.2.28

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

Bước 8.3

Khai triển $x (x + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Bước 8.3.2

Sắp xếp lại $x$ và $3$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Bước 8.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Bước 8.3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Bước 8.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

Bước 8.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Bước 8.4

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Bước 8.5

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Bước 8.6

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Bước 8.7

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + 3 x^{2} + 0$

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Bước 8.8

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

Bước 8.9

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

Bước 8.10

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 3 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Bước 8.11

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

Bước 8.12

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 3 x^{2} - 9 x + 0$

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Bước 8.13

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

Bước 8.14

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

Bước 8.15

Tiệm cận xiên là phần đa thức của kết quả của phép chia số lớn.

$y = x - 3$

Bước 9

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = - 3, 0$

Không có các tiệm cận ngang

Các tiệm cận xiên: $y = x - 3$

Bước 10