Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Bước 1

Trừ $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Bước 2

Rút gọn $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp thành một phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Bước 2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Bước 2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Bước 2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 3$ và $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Cộng $3$ và $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

Bước 2.2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

Bước 2.2.3.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

Bước 2.2.3.4

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

Bước 2.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

Bước 2.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

Bước 2.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

Bước 2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $- (x + 1)$ ở dạng $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

Bước 2.3.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Bước 3

Nhân cả hai vế của phương trình với $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Bước 4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn $- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$ vào tử số.

$- 16 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Bước 4.1.1.1.2

Đưa $16$ ra ngoài $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Bước 4.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Bước 4.1.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Bước 4.1.1.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Bước 4.1.1.2.2

Nhân ${(y - 1)}^{2}$ với $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Bước 4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 16$ .

${(y - 1)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Bước 4.2.1.2

Kết hợp $16$ và $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

Bước 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

Bước 6

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ ở dạng ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo ${(2^{2})}^{2}$ ra ngoài $16 (x + 7) (x + 1)$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

Bước 6.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $3^{2}$ ra ngoài $9$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Bước 6.1.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

Bước 6.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y - 1 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Bước 6.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y - 1 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Bước 6.4

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 1 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Bước 7

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y - 1 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Bước 7.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Bước 7.3

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Bước 7.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Bước 7.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Bước 8

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 9.2

Đặt $x + 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đặt $x + 7$ bằng với $0$ .

$x + 7 = 0$

Bước 9.2.2

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 7$

Bước 9.3

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 9.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 9.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ đúng.

$x = - 7, - 1$

Bước 9.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Bước 9.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 7$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 7$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 10$

Bước 9.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 10$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

Bước 9.6.1.3

Vế trái $27$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 9.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 7 < x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 7 < x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 9.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

Bước 9.6.2.3

Vế trái $- 9$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 9.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 9.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

Bước 9.6.3.3

Vế trái $7$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 9.6.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 7$ Đúng

$- 7 < x < - 1$ Sai

$x > - 1$ Đúng

$x < - 7$ Đúng

$- 7 < x < - 1$ Sai

$x > - 1$ Đúng

Bước 9.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 7$ hoặc $x \geq - 1$

Bước 10

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Bước 11

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \in ℝ}$

Bước 12

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Khoảng biến thiên: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Bước 13