Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 1

Chia bằng cách sử dụng phép chia đa thức số lớn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Khai triển $x (x^{2} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại $x$ và $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Bước 1.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Bước 1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

Bước 1.1.6

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Bước 1.2

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Bước 1.3

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{4}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Bước 1.4

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Bước 1.5

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Bước 1.6

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

Bước 1.7

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

Bước 1.8

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Bước 2

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

Bước 2.1.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Bước 2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 2.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 2.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo ra một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số, và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số có bậc 2, ta cần $2$ số hạng trên tử số. Số số hạng cần thiết trên tử số luôn bằng với số bậc của thừa số dưới mẫu.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Bước 2.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.5.2

Chia $2 x^{2} + 1$ cho $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.6.1.2

Chia $A (x^{2} + 1)$ cho $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.6.3

Nhân $A$ với $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Bước 2.6.4.2

Chia $(B x + C) (x)$ cho $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Bước 2.6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Bước 2.6.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.6.1

Di chuyển $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Bước 2.6.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Bước 2.7

Di chuyển $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Bước 3

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x^{2}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$2 = A + B$

Bước 3.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = C$

Bước 3.3

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A$

Bước 3.4

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Bước 4

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

Bước 4.2

Viết lại phương trình ở dạng $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $2 = A + B$ bằng $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Bước 4.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Bước 4.4

Giải tìm $B$ trong $2 = 1 + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Bước 4.4.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $B$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Bước 4.4.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Bước 4.5

Giải hệ phương trình.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Bước 4.6

Liệt kê tất cả các đáp án.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Bước 5

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ , $B$ và $C$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Bước 6.2

Cộng $(1) \cdot x$ và $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Bước 6.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$