Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Bước 1

Tìm các hoành độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm (các) hoành độ gốc, thay vào $0$ cho $y$ và giải tìm $x$ .

$0 = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Bước 1.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ .

$x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$

Bước 1.2.2

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

$u = x^{2}$

Bước 1.2.3

Phân tích $u^{2} - 2 u - 8$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 8$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 4, 2$

Bước 1.2.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Bước 1.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 2 = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $u - 4$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $u - 4$ bằng với $0$ .

$u - 4 = 0$

Bước 1.2.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 4$

Bước 1.2.6

Đặt $u + 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $u + 2$ bằng với $0$ .

$u + 2 = 0$

Bước 1.2.6.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 2$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 4) (u + 2) = 0$ đúng.

$u = 4, - 2$

Bước 1.2.8

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 2$

Bước 1.2.9

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = 4$

Bước 1.2.10

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 1.2.10.2

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 1.2.10.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 1.2.10.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 1.2.10.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 1.2.10.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 1.2.11

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 2$

Bước 1.2.12

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = - 2$

Bước 1.2.12.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Bước 1.2.12.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.3.1

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Bước 1.2.12.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (2)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Bước 1.2.12.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Bước 1.2.12.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i \sqrt{2}$

Bước 1.2.12.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i \sqrt{2}$

Bước 1.2.12.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Bước 1.2.13

Đáp án cho $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ là $x = 2, - 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$ .

$x = 2, - 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Bước 1.3

(các) hoành độ gốc ở dạng điểm.

(các) hoành độ gốc: $(2, 0), (- 2, 0)$

Bước 2

Tìm các tung độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm (các) tung độ gốc, thay vào $0$ cho $x$ và giải tìm $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Bước 2.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Bước 2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0^{4} - 2 \cdot 0^{2} - 8$

Bước 2.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Bước 2.2.4

Rút gọn ${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 0 - 2 {(0)}^{2} - 8$

Bước 2.2.4.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 - 8$

Bước 2.2.4.1.3

Nhân $- 2$ với $0$ .

$y = 0 + 0 - 8$

Bước 2.2.4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$y = 0 - 8$

Bước 2.2.4.2.2

Trừ $8$ khỏi $0$ .

$y = - 8$

Bước 2.3

(các) tung độ gốc ở dạng điểm.

(các) tung độ gốc: $(0, - 8)$

Bước 3

Liệt kê các phần giao.

(các) hoành độ gốc: $(2, 0), (- 2, 0)$

(các) tung độ gốc: $(0, - 8)$

Bước 4