Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = - 4$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(- 4, - 1)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Bước 5.3.3

Cộng $9$ và $16$ .

$\sqrt{25}$

Bước 5.3.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$5$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 4, 2)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 4, - 4)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(- 4, 2), (- 4, - 4)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 4, 4)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 4, - 6)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(- 4, 4), (- 4, - 6)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Bước 8.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Bước 8.3.3

Cộng $9$ và $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Bước 8.3.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Bước 8.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{5}{3}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{4^{2}}{5}$

Bước 9.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{16}{5}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Bước 11.2

Rút gọn $\frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Bước 11.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 - 1$

Bước 11.2.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 2$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Bước 12.2

Rút gọn $- \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{4}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

Bước 12.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

Bước 12.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 - 1$

Bước 12.2.1.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - 3 - 1$

Bước 12.2.2

Trừ $1$ khỏi $- 3$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{3 x}{4} + 2, y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(- 4, - 1)$

Các đỉnh: $(- 4, 2), (- 4, - 4)$

Tiêu điểm: $(- 4, 4), (- 4, - 6)$

Tâm sai: $\frac{5}{3}$

Tham số tiêu: $\frac{16}{5}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{3 x}{4} + 2$ , $y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Bước 15