Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Bước 1

Tìm các hoành độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm (các) hoành độ gốc, thay vào $0$ cho $y$ và giải tìm $x$ .

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Bước 1.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Bước 1.2.2.2

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x^{3} + 15 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Bước 1.2.2.2.2

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $15 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Bước 1.2.2.2.3

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Bước 1.2.2.3

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Bước 1.2.2.4

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Bước 1.2.2.5

Phân tích $u^{2} - 9 u + 20$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $20$ và tổng của chúng là $- 9$ .

$- 5, - 4$

Bước 1.2.2.5.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

Bước 1.2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Bước 1.2.2.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Bước 1.2.2.8

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.8.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Bước 1.2.2.8.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 1.2.2.9

Đưa $x^{2} - 5$ ra ngoài $- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.9.1

Đưa $x^{2} - 5$ ra ngoài $- 3 x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 1.2.2.9.2

Đưa $x^{2} - 5$ ra ngoài $(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Bước 1.2.2.9.3

Đưa $x^{2} - 5$ ra ngoài $(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Bước 1.2.2.10

Khai triển $(x + 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Bước 1.2.2.10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Bước 1.2.2.10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 1.2.2.11

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.11.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot - 2$ và $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 1.2.2.11.2

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 1.2.2.11.3

Cộng $x \cdot x$ và $0$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 1.2.2.12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.12.1

Nhân $x$ với $x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Bước 1.2.2.12.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Bước 1.2.2.13

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Bước 1.2.2.14

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.14.1

Phân tích $x^{2} - 3 x - 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.14.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 4$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 4, 1$

Bước 1.2.2.14.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Bước 1.2.2.14.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $x^{2} - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $x^{2} - 5$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Bước 1.2.4.2

Giải $x^{2} - 5 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 5$

Bước 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Bước 1.2.4.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{5}$

Bước 1.2.4.2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{5}$

Bước 1.2.4.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Bước 1.2.5

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 1.2.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 1.2.6

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 1.2.6.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ đúng.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

Bước 1.3

(các) hoành độ gốc ở dạng điểm.

(các) hoành độ gốc: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Bước 2

Tìm các tung độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm (các) tung độ gốc, thay vào $0$ cho $x$ và giải tìm $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Bước 2.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.5

Rút gọn ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.5.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.5.1.3

Nhân $- 3$ với $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.5.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.5.1.5

Nhân $- 9$ với $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

Bước 2.2.5.1.6

Nhân $15$ với $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Bước 2.2.5.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Bước 2.2.5.2.3

Cộng $0$ và $0$ .

$y = 0 + 20$

Bước 2.2.5.2.4

Cộng $0$ và $20$ .

$y = 20$

Bước 2.3

(các) tung độ gốc ở dạng điểm.

(các) tung độ gốc: $(0, 20)$

Bước 3

Liệt kê các phần giao.

(các) hoành độ gốc: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

(các) tung độ gốc: $(0, 20)$

Bước 4