Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = \sqrt{6}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{6^{1} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 5.3.1.5

Tính số mũ.

$\sqrt{6 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 5.3.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{6 + 2^{1}}$

Bước 5.3.2.5

Tính số mũ.

$\sqrt{6 + 2}$

Bước 5.3.3

Cộng $6$ và $2$ .

$\sqrt{8}$

Bước 5.3.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 \sqrt{2}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, \sqrt{6})$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, - \sqrt{6})$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(0, \sqrt{6}), (0, - \sqrt{6})$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, 2 \sqrt{2})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, - 2 \sqrt{2})$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(0, 2 \sqrt{2}), (0, - 2 \sqrt{2})$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{6^{1} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.1.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{6 + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{6 + 2^{1}}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.2.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{6 + 2}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $6$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\sqrt{2}$ và $\sqrt{6}$ vào một căn thức đơn.

$2 \sqrt{\frac{2}{6}}$

Bước 8.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}$

Bước 8.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Bước 8.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Bước 8.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

Bước 8.3.4

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Bước 8.3.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bước 8.3.6

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Bước 8.3.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.7.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.7.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 8.3.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 8.3.7.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 8.3.7.6.5

Tính số mũ.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 8.3.8

Kết hợp $2$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung của ${\sqrt{2}}^{2}$ và $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $\sqrt{2}$ ra ngoài ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $\sqrt{2}$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 2}$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 2}$

Bước 9.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot x + 0$

Bước 11

Cộng $\sqrt{3} \cdot x$ và $0$ .

$y = \sqrt{3} x$

Bước 12

Cộng $- \sqrt{3} \cdot x$ và $0$ .

$y = - \sqrt{3} x$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \sqrt{3} x, y = - \sqrt{3} x$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(0, 0)$

Các đỉnh: $(0, \sqrt{6}), (0, - \sqrt{6})$

Tiêu điểm: $(0, 2 \sqrt{2}), (0, - 2 \sqrt{2})$

Tâm sai: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Tham số tiêu: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Các đường tiệm cận: $y = \sqrt{3} x$ , $y = - \sqrt{3} x$

Bước 15