Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(3 x + y^{2})}^{5}$

Bước 1

Tam giác Pascal có thể được hiển thị như thế này:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Tam giác có thể được sử dụng để tính các hệ số của việc khai triển ${(a + b)}^{n}$ bằng cách lấy số mũ $n$ và cộng $1$ . Các hệ số sẽ tương ứng với đường thẳng $n + 1$ của tam giác. Đối với ${(3 x + y^{2})}^{5}$ , $n = 5$ , vì vậy các hệ số của việc khai triển sẽ tương ứng với đường thẳng $6$ .

Bước 2

Việc khai triển tuân theo quy tắc ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Các giá trị của các hệ số, từ tam giác, là $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a$ $3 x$ và $b$ $y^{2}$ vào biểu thức.

$1 {(3 x)}^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân ${(3 x)}^{5}$ với $1$ .

${(3 x)}^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$243 x^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.4

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} y^{2 \cdot 0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.4.2

Nhân $2$ với $0$ .

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.6

Nhân $243$ với $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.8

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.9

Nhân $81$ với $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.10

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2 \cdot 1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.10.2

Nhân $2$ với $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.11

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 (3^{3} x^{3}) {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.12

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 (27 x^{3}) {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.13

Nhân $27$ với $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.14

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{2 \cdot 2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.14.2

Nhân $2$ với $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.15

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 (3^{2} x^{2}) {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.16

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 (9 x^{2}) {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.17

Nhân $9$ với $10$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.18

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{2 \cdot 3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.18.2

Nhân $2$ với $3$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.19

Rút gọn.

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 5 (3 x) {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.20

Nhân $3$ với $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.21

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{2 \cdot 4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.21.2

Nhân $2$ với $4$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.22

Nhân ${(3 x)}^{0}$ với $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.23

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 3^{0} x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.24

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.25

Nhân $x^{0}$ với $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + x^{0} {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.26

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.27

Nhân ${(y^{2})}^{5}$ với $1$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + {(y^{2})}^{5}$

Bước 4.28

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.28.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + y^{2 \cdot 5}$

Bước 4.28.2

Nhân $2$ với $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + y^{10}$