Giải tích sơ cấp Ví dụ

$1 + \sin (θ) = 2 \cos^{2} (θ)$

Bước 1

Trừ $2 \cos^{2} (θ)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$1 + \sin (θ) - 2 \cos^{2} (θ) = 0$

Bước 2

Thay thế $- 2 \cos^{2} (θ)$ bằng $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \sin (θ) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

Bước 3.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$1 + \sin (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

Bước 4

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\sin (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

Bước 5

Sắp xếp lại đa thức.

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

Bước 6

Thay $u$ bằng $\sin (θ)$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

Bước 7

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân với $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Bước 7.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Bước 7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Bước 7.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Bước 7.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Bước 7.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Bước 8

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 9

Đặt $2 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $2 u - 1$ bằng với $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Bước 9.2

Giải $2 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 u = 1$

Bước 9.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 9.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 9.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Bước 10

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 10.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 11

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 12

Thay $\sin (θ)$ bằng $u$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 13

Lập từng đáp án để giải tìm $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

Bước 14

Giải tìm $θ$ trong $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm sin.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Bước 14.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Bước 14.4

Rút gọn $π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 14.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 14.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 14.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 14.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 14.6

Chu kỳ của hàm $\sin (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Giải tìm $θ$ trong $\sin (θ) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm sin.

$θ = \arcsin (- 1)$

Bước 15.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Bước 15.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 15.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 15.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Bước 15.5

Tìm chu kỳ của $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 15.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 15.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 15.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 15.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 15.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 15.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 15.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 15.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 15.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 15.6.5

Liệt kê các góc mới.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Bước 15.7

Chu kỳ của hàm $\sin (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Liệt kê tất cả các đáp án.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 17

Hợp nhất các câu trả lời.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$