Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

Bước 1

Để tìm $\cos (θ)$ giữa trục x và đường thẳng giữa các điểm $(0, 0)$ và $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ , hãy vẽ tam giác giữa ba điểm $(0, 0)$ , $(\frac{3 π}{2}, 0)$ , và $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ .

Đối nhau : $\frac{7 π}{4}$

Góc kề: $\frac{3 π}{2}$

Bước 2

Tìm cạnh huyền bằng định lý Pytago $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 π}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 π$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Bước 2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Bước 2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{7 π}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Bước 2.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $7 π$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Bước 2.5

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

Bước 2.6

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Bước 2.7

Để viết $\frac{9 π^{2}}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Bước 2.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Nhân $\frac{9 π^{2}}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Bước 2.8.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Bước 2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

Bước 2.10

Viết lại $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $4$ với $9$ .

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

Bước 2.10.2

Cộng $36 π^{2}$ và $49 π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

Bước 2.11

Viết lại $\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Bước 2.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Sắp xếp lại $85$ và $π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

Bước 2.12.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

Bước 2.13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

Bước 2.13.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

Bước 3

$\cos (θ) = \frac{Góc kề}{Cạnh huyền}$ do đó $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

Bước 4

Rút gọn $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $π$ ra ngoài $3 π$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Bước 4.2.2

Đưa $π$ ra ngoài $π \sqrt{85}$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Bước 4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Bước 4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

Bước 4.4

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Bước 4.5

Nhân $3$ với $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

Bước 4.6

Nhân $\frac{6}{\sqrt{85}}$ với $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

Bước 4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $\frac{6}{\sqrt{85}}$ với $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Bước 4.7.2

Nâng $\sqrt{85}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Bước 4.7.3

Nâng $\sqrt{85}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Bước 4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Bước 4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Bước 4.7.6

Viết lại ${\sqrt{85}}^{2}$ ở dạng $85$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{85}$ ở dạng $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Bước 4.7.6.5

Tính số mũ.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Bước 5

Tính xấp xỉ kết quả.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$