Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{5}$ ở dạng $\sqrt{3^{5}}$ .

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.3

Viết lại $243$ ở dạng $9^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Đưa $81$ ra ngoài $243$ .

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.3.2

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5

Viết lại ${\sqrt{3}}^{4}$ ở dạng $3^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.7

Nhân $5$ với $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.8

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.9

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.10

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.10.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.12

Nhân $3$ với $10$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.13

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.14

Nhân $- 1$ với $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.15

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.15.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.15.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.15.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.15.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.15.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.15.4.2

Viết lại biểu thức.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.15.5

Tính số mũ.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.16

Nhân $10$ với $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.17

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.18

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.19

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.20

Nhân $- 1$ với $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.21

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.21.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Bước 2.1.21.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Bước 2.1.21.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

Bước 2.1.22

Nhân $5$ với $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

Bước 2.1.23

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

Bước 2.1.24

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.24.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

Bước 2.1.24.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

Bước 2.1.24.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

Bước 2.1.25

Nhân $i$ với $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $30 \sqrt{3}$ khỏi $9 \sqrt{3}$ .

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Bước 2.2.2

Trừ $30 i$ khỏi $45 i$ .

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

Bước 2.2.3

Cộng $15 i$ và $i$ .

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Bước 2.2.4

Cộng $- 21 \sqrt{3}$ và $5 \sqrt{3}$ .

$16 i - 16 \sqrt{3}$

Bước 2.2.5

Sắp xếp lại $16 i$ và $- 16 \sqrt{3}$ .

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

Bước 3

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 4

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế của $a = - 16 \sqrt{3}$ và $b = 16$ .

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 6

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 6.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 16 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 6.1.3

Nâng $- 16$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 6.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Bước 6.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $256$ với $3$ .

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

Bước 6.3.2

Cộng $256$ và $768$ .

$| z | = \sqrt{1024}$

Bước 6.3.3

Viết lại $1024$ ở dạng $32^{2}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

Bước 6.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 32$

Bước 7

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

Bước 8

Vì tang nghịch đảo của $\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ hai, giá trị của góc là $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Bước 9

Thay các giá trị của $θ = \frac{5 π}{6}$ và $| z | = 32$ .

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$