Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (45 °)$

Bước 1

Giá trị chính xác của $\cos (45 °)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 2

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 3

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Bước 5

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Bước 5.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Bước 5.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Bước 5.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Bước 5.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Bước 5.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Bước 5.5

Cộng $0$ và $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 5.6

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 5.7

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 5.8

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 5.9

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 5.9.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 5.9.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 5.9.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 5.9.5

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 5.9.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.9.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.9.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.9.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.9.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.9.6.5

Tính số mũ.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 6

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Bước 7

Vì tang nghịch đảo của $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ nhất, giá trị của góc là $0$ .

$θ = 0$

Bước 8

Thay các giá trị của $θ = 0$ và $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$