Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 1.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 3

Nhân $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{3}{5}$ với $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 3.2

Nhân $5$ với $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 4

Nhân $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{3}{5}$ với $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 4.2

Nhân $5$ với $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Bước 5.1.2

Tính $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

Bước 5.1.3

Di chuyển $0.95105651$ sang phía bên trái của $i$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

Bước 5.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

Bước 5.2.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $5$ với $- 0.30901699$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

Bước 5.2.2.2

Nhân $0.95105651$ với $5$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Bước 6

Khai triển $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Kết hợp $\frac{3}{10}$ và $- 1.54508497$ .

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.1.2

Nhân $3$ với $- 1.54508497$ .

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.2

Chia $- 4.63525491$ cho $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.3

Nhân $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Kết hợp $4.75528258$ và $\frac{3}{10}$ .

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.3.2

Nhân $4.75528258$ với $3$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.3.3

Kết hợp $\frac{14.26584774}{10}$ và $i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.4

Đưa $14.26584774$ ra ngoài $14.26584774 i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.5

Đưa $10$ ra ngoài $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.6

Tách các phân số.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.7

Chia $14.26584774$ cho $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.8

Chia $i$ cho $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.9

Nhân $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.9.1

Kết hợp $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ và $- 1.54508497$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.9.2

Nhân $- 1.54508497$ với $3$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.9.3

Nhân $\sqrt{3}$ với $- 4.63525491$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.11

Đưa $8.02849701$ ra ngoài $8.02849701 i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.12

Đưa $10$ ra ngoài $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.13

Tách các phân số.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.14

Chia $8.02849701$ cho $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.15

Chia $i$ cho $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.16

Nhân $0.8028497$ với $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Bước 7.1.17

Nhân $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.17.1

Kết hợp $4.75528258$ và $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

Bước 7.1.17.2

Nhân $3$ với $4.75528258$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

Bước 7.1.17.3

Nhân $\sqrt{3}$ với $14.26584774$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

Bước 7.1.17.4

Kết hợp $\frac{24.7091731 i}{10}$ và $i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

Bước 7.1.17.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

Bước 7.1.17.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

Bước 7.1.17.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

Bước 7.1.17.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

Bước 7.1.18

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

Bước 7.1.19

Nhân $24.7091731$ với $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

Bước 7.1.20

Chia $- 24.7091731$ cho $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

Bước 7.2

Trừ $2.47091731$ khỏi $- 0.46352549$ .

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

Bước 7.3

Trừ $0.8028497 i$ khỏi $1.42658477 i$ .

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

Bước 8

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 9

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 10

Thay các giá trị thực tế của $a = - 2.9344428$ và $b = 0.62373507$ .

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Bước 11

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nâng $0.62373507$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Bước 11.2

Nâng $- 2.9344428$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

Bước 11.3

Cộng $0.38904544$ và $8.61095455$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Bước 11.4

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Bước 11.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 3$

Bước 12

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

Bước 13

Vì tang nghịch đảo của $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ hai, giá trị của góc là $2.93215314$ .

$θ = 2.93215314$

Bước 14

Thay các giá trị của $θ = 2.93215314$ và $| z | = 3$ .

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$