Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.2

Nhân ${(- 2)}^{3}$ với $- 2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Di chuyển $- 2$ .

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.2.2

Nhân $- 2$ với ${(- 2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $1$ .

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.2.3

Cộng $1$ và $3$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.4

Nhân $4$ với $16$ .

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.5

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.6

Nhân $6$ với $4$ .

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.8

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.9

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.10

Nhân $24 (4 \cdot - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.10.2

Nhân $24$ với $- 4$ .

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.11

Nhân $4$ với $- 2$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.12

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.13

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.14

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.15

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.16

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.17

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.18

Nhân $8$ với $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

Bước 2.1.19

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

Bước 2.1.20

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

Bước 2.1.21

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.21.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Bước 2.1.21.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Bước 2.1.21.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

Bước 2.1.22

Nhân $16$ với $1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $96$ khỏi $16$ .

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

Bước 2.2.2

Cộng $- 80$ và $16$ .

$- 64 + 64 i - 64 i$

Bước 2.2.3

Trừ $64 i$ khỏi $64 i$ .

$- 64 + 0$

Bước 2.2.4

Cộng $- 64$ và $0$ .

$- 64$

Bước 3

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 4

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế của $a = - 64$ và $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Bước 6

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Bước 6.2

Nâng $- 64$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Bước 6.3

Cộng $0$ và $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Bước 6.4

Viết lại $4096$ ở dạng $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Bước 6.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 64$

Bước 7

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Bước 8

Vì tang nghịch đảo của $\frac{0}{- 64}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ hai, giá trị của góc là $π$ .

$θ = π$

Bước 9

Thay các giá trị của $θ = π$ và $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$