Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Bước 1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Bước 1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Bước 2

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ với liên hợp của $10 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Bước 3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.1.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.1.8

Nhân $i$ với $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.2

Cộng $- 1$ và $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.2.6

Nhân $0$ với $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Bước 3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $(10 i) (1 + 0 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Bước 3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Bước 3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Bước 3.3.2.3

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Bước 3.3.2.4

Nhân $0$ với $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Bước 3.3.2.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Bước 3.3.2.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Bước 3.3.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Bước 3.3.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Bước 3.3.2.9

Nhân $0$ với $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Bước 3.3.2.10

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Bước 3.3.2.11

Trừ $0 i$ khỏi $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Bước 3.3.3

Nhân $0$ với $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Bước 3.3.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Bước 4

Chia $- 20 i$ cho $1$ .

$- 20 i$

Bước 5

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 6

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 7

Thay các giá trị thực tế của $a = - 2$ và $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Bước 8

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nâng $0$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Bước 8.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Bước 8.3

Cộng $0$ và $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Bước 8.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Bước 8.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 2$

Bước 9

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Bước 10

Vì tang nghịch đảo của $\frac{0}{- 2}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ ba, giá trị của góc là $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Bước 11

Thay các giá trị của $θ = 3.14159265$ và $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$