Giải tích sơ cấp Ví dụ

$3 - \sqrt{3} i$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a = 3$ và $b = - 1 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}$

Bước 4

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $- 1 \sqrt{3}$ ở dạng $- \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}$

Bước 4.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Bước 4.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Bước 4.1.4

Nhân ${\sqrt{3}}^{2}$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3^{2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{3 + 9}$

Bước 4.3.2

Cộng $3$ và $9$ .

$| z | = \sqrt{12}$

Bước 4.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$| z | = \sqrt{4 (3)}$

Bước 4.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Bước 4.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| z | = 2 \sqrt{3}$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{3}}{3})$

Bước 6

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- 1 \sqrt{3}}{3}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ tư, giá trị của góc là $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Bước 7

Thay các giá trị của $θ = - \frac{π}{6}$ và $| z | = 2 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$