Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Bước 2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = - 6$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.3

Cộng $4$ và $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.3

Cộng $4$ và $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Bước 5.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Bước 5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.3

Cộng $4$ và $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Bước 6.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Bước 6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Bước 7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Bước 8

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Bước 9

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Bước 10

Tìm tập xác định của $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Bước 10.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 10.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = - 6$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.3.1.3

Cộng $4$ và $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.3.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Bước 10.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Bước 10.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.1.3

Cộng $4$ và $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Bước 10.2.4.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Bước 10.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Bước 10.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.5.1.3

Cộng $4$ và $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.5.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Bước 10.2.5.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Bước 10.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Bước 10.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Bước 10.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

Bước 11

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

Bước 12

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1 - \sqrt{7}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1 - \sqrt{7}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 12.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

Bước 12.1.3

Vế trái $- 0.\overline{3}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 12.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

Bước 12.2.3

Vế trái $0.\overline{3}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 12.3.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

Bước 12.3.3

Vế trái $- 0.\overline{3}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > - 1 + \sqrt{7}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > - 1 + \sqrt{7}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 12.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

Bước 12.4.3

Vế trái $0.\overline{2}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Đúng

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Sai

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Đúng

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Sai

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Đúng

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Sai

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Đúng

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Sai

Bước 13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ hoặc $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

Bước 14

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

Bước 15