Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

Bước 2

Phân tích $x^{2} - 9 x + 18$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $18$ và tổng của chúng là $- 9$ .

$- 6, - 3$

Bước 2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 4

Đặt $x - 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $x - 6$ bằng với $0$ .

$x - 6 = 0$

Bước 4.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Bước 5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 6) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = 6, 3$

Bước 7

Cộng $25$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} = 25$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 25$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 25$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Bước 8.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Bước 9

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Bước 10

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $\sqrt{\frac{25}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Bước 10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Bước 10.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Bước 10.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 10.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Bước 11

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{5}{2}$

Bước 11.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{5}{2}$

Bước 11.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Bước 12

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Bước 13

Hợp nhất các đáp án.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Bước 14

Tìm tập xác định của $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$4 x^{2} - 25 = 0$

Bước 14.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Cộng $25$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} = 25$

Bước 14.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 25$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 25$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Bước 14.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Bước 14.2.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Bước 14.2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Bước 14.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.4.1

Viết lại $\sqrt{\frac{25}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Bước 14.2.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.4.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Bước 14.2.4.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Bước 14.2.4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.4.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 14.2.4.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Bước 14.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{5}{2}$

Bước 14.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{5}{2}$

Bước 14.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Bước 14.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Bước 15

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Bước 16

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - \frac{5}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - \frac{5}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 5$

Bước 16.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

Bước 16.1.3

Vế trái $1.17\overline{3}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 16.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 16.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

Bước 16.2.3

Vế trái $- 0.72$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 16.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5}{2} < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5}{2} < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2.75$

Bước 16.3.2

Thay thế $x$ bằng $2.75$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

Bước 16.3.3

Vế trái $0.1547619$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 16.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $3 < x < 6$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $3 < x < 6$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 16.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

Bước 16.4.3

Vế trái $- 0.\overline{051282}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 16.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 6$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 6$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 8$

Bước 16.5.2

Thay thế $x$ bằng $8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

Bước 16.5.3

Vế trái $0.\overline{043290}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 16.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - \frac{5}{2}$ Sai

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Đúng

$\frac{5}{2} < x < 3$ Sai

$3 < x < 6$ Đúng

$x > 6$ Sai

$x < - \frac{5}{2}$ Sai

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Đúng

$\frac{5}{2} < x < 3$ Sai

$3 < x < 6$ Đúng

$x > 6$ Sai

Bước 17

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ hoặc $3 \leq x \leq 6$

Bước 18

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

Bước 19