Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81} < 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{2} - 81 = 0$

$x^{4} - 81 = 0$

Bước 2

Cộng $81$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 81$

Bước 3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{81}$

Bước 4

Rút gọn $\pm \sqrt{81}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Bước 4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 9$

Bước 5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 9$

Bước 5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 9$

Bước 5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 9, - 9$

Bước 6

Cộng $81$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{4} = 81$

Bước 7

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Bước 8

Rút gọn $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $81$ ở dạng $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Bước 8.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 3$

Bước 9

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 3$

Bước 9.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 3$

Bước 9.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 3, - 3$

Bước 10

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 9, - 9$

$x = 3, - 3$

Bước 11

Hợp nhất các đáp án.

$x = 9, - 9, 3, - 3$

Bước 12

Tìm tập xác định của $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{4} - 81 = 0$

Bước 12.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Cộng $81$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{4} = 81$

Bước 12.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Bước 12.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Viết lại $81$ ở dạng $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Bước 12.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 3$

Bước 12.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 3$

Bước 12.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 3$

Bước 12.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 3, - 3$

Bước 12.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Bước 13

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 9$

$x > 9$

Bước 14

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 9$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 9$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 12$

Bước 14.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 12$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 12)}^{2} - 81}{{(- 12)}^{4} - 81} < 0$

Bước 14.1.3

Vế trái $0.0030501$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 14.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 9 < x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 9 < x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 14.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 81}{{(- 6)}^{4} - 81} < 0$

Bước 14.2.3

Vế trái $- 0.\overline{037}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 14.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 14.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{4} - 81} < 0$

Bước 14.3.3

Vế trái $1$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 14.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $3 < x < 9$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $3 < x < 9$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 14.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(6)}^{2} - 81}{{(6)}^{4} - 81} < 0$

Bước 14.4.3

Vế trái $- 0.\overline{037}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 14.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 9$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 9$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 12$

Bước 14.5.2

Thay thế $x$ bằng $12$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(12)}^{2} - 81}{{(12)}^{4} - 81} < 0$

Bước 14.5.3

Vế trái $0.0030501$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 14.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 9$ Sai

$- 9 < x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 3$ Sai

$3 < x < 9$ Đúng

$x > 9$ Sai

$x < - 9$ Sai

$- 9 < x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 3$ Sai

$3 < x < 9$ Đúng

$x > 9$ Sai

Bước 15

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 9 < x < - 3$ hoặc $3 < x < 9$

Bước 16

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- 9, - 3) \cup (3, 9)$

Bước 17