Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\csc (x)}{\cot (x)} = \sqrt{2}$

Bước 1

Sử dụng định nghĩa của côtang để tìm các cạnh đã biết của tam giác vuông nội tiếp đường tròn đơn vị. Góc phần tư xác định dấu của mỗi giá trị.

$\cot (x) = \frac{kề}{đối diện}$

Bước 2

Tìm cạnh huyền của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị. Vì cạnh đối và cạnh kề đã biết, ta sử dụng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

$Cạnh huyền = \sqrt{{đối diện}^{2} + {kề}^{2}}$

Bước 3

Thay thế các giá trị đã biết trong phương trình.

$Cạnh huyền = \sqrt{{(1)}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn phần bên trong căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

Cạnh huyền $= \sqrt{1 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{1 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{1 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{1 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Cạnh huyền $= \sqrt{1 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

Cạnh huyền $= \sqrt{1 + 2}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

Cạnh huyền $= \sqrt{1 + 2}$

Bước 4.3

Cộng $1$ và $2$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{3}$

Bước 5

Tìm sin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm giá trị của $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Bước 5.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bước 5.3

Rút gọn giá trị của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.3.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.3.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 5.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 5.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 6

Tìm cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng định nghĩa của cosin để tìm giá trị của $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Bước 6.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Bước 6.3

Rút gọn giá trị của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 6.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 6.3.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 6.3.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 6.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 6.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 6.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Bước 6.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Bước 6.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Bước 6.3.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Bước 7

Tìm tang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng định nghĩa của tang để tìm giá trị của $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Bước 7.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn giá trị của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 7.3.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 7.3.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 7.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 7.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 7.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 7.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 8

Tìm secant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng định nghĩa của secant để tìm giá trị của $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Bước 8.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn giá trị của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 8.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 8.3.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 8.3.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 8.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 8.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Bước 8.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Bước 8.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Bước 8.3.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Bước 9

Tìm cosecant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng định nghĩa của cosecant để tìm giá trị của $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Bước 9.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Bước 9.3

Chia $\sqrt{3}$ cho $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{3}$

Bước 10

Đây là đáp án cho mỗi giá trị lượng giác.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cot (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\csc (x) = \sqrt{3}$