Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$ , $\tan (θ) < 0$

Bước 1

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Hàm cosin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Tập hợp các đáp án của $θ$ bị giới hạn ở góc phần tư thứ tư vì đó là góc phần tư duy nhất tồn tại ở cả hai tập hợp.

Nghiệm nằm trong góc phần tư thứ tư.

Bước 2

Sử dụng định nghĩa của cosin để tìm các cạnh đã biết của tam giác vuông nội tiếp đường tròn đơn vị. Góc phần tư xác định dấu của mỗi giá trị.

$\cos (θ) = \frac{kề}{cạnh huyền}$

Bước 3

Tìm cạnh đối của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị. Vì cạnh kề và cạnh huyền đã biết, ta dùng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

$Đối = - \sqrt{{cạnh huyền}^{2} - {kề}^{2}}$

Bước 4

Thay thế các giá trị đã biết trong phương trình.

$Đối = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn phần bên trong căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Làm $\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$ âm.

Cạnh đối $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Bước 5.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{9 - 4}$

Bước 5.5

Trừ $4$ khỏi $9$ .

Cạnh đối $= - \sqrt{5}$

Bước 6

Tìm sin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm giá trị của $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Bước 6.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{3}$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

Bước 7

Tìm tang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng định nghĩa của tang để tìm giá trị của $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Bước 7.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Bước 8

Tìm cotang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng định nghĩa của cotang để tìm giá trị của $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Bước 8.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cot (θ) = \frac{2}{- \sqrt{5}}$

Bước 8.3

Rút gọn giá trị của $\cot (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cot (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Bước 8.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 8.3.3.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 8.3.3.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 8.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 8.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Bước 8.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Bước 9

Tìm secant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng định nghĩa của secant để tìm giá trị của $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Bước 9.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

Bước 10

Tìm cosecant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng định nghĩa của cosecant để tìm giá trị của $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Bước 10.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\csc (θ) = \frac{3}{- \sqrt{5}}$

Bước 10.3

Rút gọn giá trị của $\csc (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\csc (θ) = - \frac{3}{\sqrt{5}}$

Bước 10.3.2

Nhân $\frac{3}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Bước 10.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Nhân $\frac{3}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 10.3.3.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 10.3.3.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 10.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 10.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 10.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 10.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 10.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Bước 10.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Bước 11

Đây là đáp án cho mỗi giá trị lượng giác.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$