Giải tích sơ cấp Ví dụ

$z^{4} = 81 i$

Bước 1

Thay $u$ bằng $z^{4}$ .

$u^{4} = 81 i$

Bước 2

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 3

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của $a = 0$ và $b = 81$ .

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

Bước 5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 81$

Bước 6

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

Bước 7

Vì đối số không xác định và $b$ dương, nên góc của điểm trên mặt phẳng phức là $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Bước 8

Thay các giá trị của $θ = \frac{π}{2}$ và $| z | = 81$ .

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 9

Thay thế vế phải của phương trình bằng dạng lượng giác.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 10

Sử dụng định lý De Moivre để tìm một phương trình cho $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 11

Đặt mô-đun của dạng lượng giác bằng $r^{4}$ để tìm giá trị của $r$ .

$r^{4} = 81$

Bước 12

Giải phương trình để tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

Bước 12.2

Rút gọn $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Viết lại $81$ ở dạng $3^{4}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Bước 12.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$r = \pm 3$

Bước 12.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$r = 3$

Bước 12.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$r = - 3$

Bước 12.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$r = 3, - 3$

Bước 13

Tìm giá trị xấp xỉ của $r$ .

$r = 3$

Bước 14

Tìm các giá trị có thể có của $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ và $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Bước 15

Tìm tất cả các giá trị khả thi của $θ$ để có được phương trình $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Bước 16

Tìm $θ$ cho $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Bước 17

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Bước 17.1.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Bước 17.1.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Bước 17.2

Chia mỗi số hạng trong $4 θ = \frac{π}{2}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 θ = \frac{π}{2}$ cho $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Bước 17.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Bước 17.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Bước 17.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 17.2.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Bước 17.2.3.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Bước 18

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{4} = 81 i$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{8})$ là $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1.1

Viết lại $\frac{π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.3

Thay đổi $+$ thành $\pm$ vì cosin dương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.5

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.5.4

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1.5.4.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.5.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.5.5

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1.5.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.1.5.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Bước 19.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{8})$ là $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.2.1

Viết lại $\frac{π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Bước 19.1.2.2

Áp dụng công thức góc chia đôi cho sin.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Bước 19.1.2.3

Thay đổi $\pm$ thành $+$ vì sin dương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Bước 19.1.2.4

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.2.4.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Bước 19.1.2.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Bước 19.1.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Bước 19.1.2.4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Bước 19.1.2.4.5

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.2.4.5.1

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Bước 19.1.2.4.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Bước 19.1.2.4.6

Viết lại $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Bước 19.1.2.4.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.2.4.7.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Bước 19.1.2.4.7.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Bước 19.1.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Bước 19.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Bước 19.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Bước 20

Thay $z^{4}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Bước 21

Tìm $θ$ cho $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Bước 22

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 22.1.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Bước 22.1.3

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Bước 22.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Bước 22.1.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Bước 22.1.6

Cộng $π$ và $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Bước 22.2

Chia mỗi số hạng trong $4 θ = \frac{5 π}{2}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 θ = \frac{5 π}{2}$ cho $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Bước 22.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Bước 22.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Bước 22.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 22.2.3.2

Nhân $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Bước 22.2.3.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Bước 23

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{4} = 81 i$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{5 π}{8})$ là $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1.1

Viết lại $\frac{5 π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.3

Thay đổi $\pm$ thành $-$ vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4

Rút gọn $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1.4.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.6

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1.4.6.1

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.7

Viết lại $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1.4.8.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.1.4.8.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Bước 24.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{5 π}{8})$ là $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.2.1

Viết lại $\frac{5 π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Bước 24.1.2.2

Áp dụng công thức góc chia đôi cho sin.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Bước 24.1.2.3

Thay đổi $\pm$ thành $+$ vì sin dương trong góc phần tư thứ hai.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Bước 24.1.2.4

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.2.4.1

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Bước 24.1.2.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Bước 24.1.2.4.3

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.2.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Bước 24.1.2.4.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Bước 24.1.2.4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Bước 24.1.2.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Bước 24.1.2.4.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Bước 24.1.2.4.7

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.2.4.7.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Bước 24.1.2.4.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Bước 24.1.2.4.8

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Bước 24.1.2.4.9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.2.4.9.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Bước 24.1.2.4.9.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Bước 24.1.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Bước 24.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Bước 24.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Bước 24.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Bước 24.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Bước 24.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Bước 24.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.6.1

Viết lại $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ ở dạng $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Bước 24.2.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Bước 25

Thay $z^{4}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Bước 26

Tìm $θ$ cho $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Bước 27

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Bước 27.1.2

Để viết $4 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Bước 27.1.3

Kết hợp $4 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Bước 27.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Bước 27.1.5

Nhân $2$ với $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Bước 27.1.6

Cộng $π$ và $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Bước 27.2

Chia mỗi số hạng trong $4 θ = \frac{9 π}{2}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 θ = \frac{9 π}{2}$ cho $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Bước 27.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Bước 27.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Bước 27.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 27.2.3.2

Nhân $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.3.2.1

Nhân $\frac{9 π}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Bước 27.2.3.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Bước 28

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{4} = 81 i$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{9 π}{8})$ là $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.1.1

Viết lại $\frac{9 π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.3

Thay đổi $\pm$ thành $-$ vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4

Rút gọn $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.1.4.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.6

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.1.4.6.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.7

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.1.4.8.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.1.4.8.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Bước 29.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{9 π}{8})$ là $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.2.1

Viết lại $\frac{9 π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Bước 29.1.2.2

Áp dụng công thức góc chia đôi cho sin.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Bước 29.1.2.3

Thay đổi $\pm$ thành $-$ vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Bước 29.1.2.4

Rút gọn $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.2.4.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Bước 29.1.2.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Bước 29.1.2.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Bước 29.1.2.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Bước 29.1.2.4.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Bước 29.1.2.4.6

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.2.4.6.1

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Bước 29.1.2.4.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Bước 29.1.2.4.7

Viết lại $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Bước 29.1.2.4.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1.2.4.8.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Bước 29.1.2.4.8.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Bước 29.1.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Bước 29.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Bước 29.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Bước 29.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Bước 29.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Bước 29.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Bước 29.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.2.6.1

Viết lại $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ ở dạng $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Bước 29.2.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Bước 30

Thay $z^{4}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Bước 31

Tìm $θ$ cho $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Bước 32

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1.1

Nhân $3$ với $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Bước 32.1.2

Để viết $6 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Bước 32.1.3

Kết hợp $6 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Bước 32.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Bước 32.1.5

Nhân $2$ với $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Bước 32.1.6

Cộng $π$ và $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Bước 32.2

Chia mỗi số hạng trong $4 θ = \frac{13 π}{2}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 θ = \frac{13 π}{2}$ cho $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Bước 32.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Bước 32.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Bước 32.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 32.2.3.2

Nhân $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.3.2.1

Nhân $\frac{13 π}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Bước 32.2.3.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Bước 33

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{4} = 81 i$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{13 π}{8})$ là $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.1.1

Viết lại $\frac{13 π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.3

Thay đổi $\pm$ thành $+$ vì cosin dương trong góc phần tư thứ tư.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.1.4.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.2

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.7

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.1.4.7.1

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.8

Viết lại $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.1.4.9.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.1.4.9.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Bước 34.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{13 π}{8})$ là $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.2.1

Viết lại $\frac{13 π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Bước 34.1.2.2

Áp dụng công thức góc chia đôi cho sin.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Bước 34.1.2.3

Thay đổi $\pm$ thành $-$ vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Bước 34.1.2.4

Rút gọn $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.2.4.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Bước 34.1.2.4.2

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Bước 34.1.2.4.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Bước 34.1.2.4.4

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.2.4.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Bước 34.1.2.4.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Bước 34.1.2.4.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Bước 34.1.2.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Bước 34.1.2.4.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Bước 34.1.2.4.8

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.2.4.8.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Bước 34.1.2.4.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Bước 34.1.2.4.9

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Bước 34.1.2.4.10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1.2.4.10.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Bước 34.1.2.4.10.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Bước 34.1.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Bước 34.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Bước 34.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Bước 35

Thay $z^{4}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Bước 36

Đây là những đáp án số phức cho $u^{4} = 81 i$ .

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$