Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y - 64 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $64$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $- x^{2} + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 8$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Bước 1.2.3.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$d = - 4$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $64$ cho $- 4$ .

$e = 0 - - 16$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Bước 1.2.4.2.2

Cộng $0$ và $16$ .

$e = 16$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x - 4)}^{2} + 16$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 16$

Bước 1.3

Thay $- {(x - 4)}^{2} + 16$ cho $- x^{2} + 8 x$ trong phương trình $- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 16 + 4 y^{2} + 16 y = 64$

Bước 1.4

Di chuyển $16$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $16$ vào cả hai vế.

$- {(x - 4)}^{2} + 4 y^{2} + 16 y = 64 - 16$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $4 y^{2} + 16 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{8}{4}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Bước 1.5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{2}{1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$d = 2$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $256$ cho $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $16$ .

$e = 0 - 16$

Bước 1.5.4.2.2

Trừ $16$ khỏi $0$ .

$e = - 16$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$

Bước 1.6

Thay $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ cho $4 y^{2} + 16 y$ trong phương trình $- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 = 64 - 16$

Bước 1.7

Di chuyển $- 16$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $16$ vào cả hai vế.

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 64 - 16 + 16$

Bước 1.8

Rút gọn $64 - 16 + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Trừ $16$ khỏi $64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 48 + 16$

Bước 1.8.2

Cộng $48$ và $16$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 64$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $64$ để làm cho vế phải bằng một.

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 4$

$b = 8$

$k = - 2$

$h = 4$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(4, - 2)$

Bước 5