Giải tích sơ cấp Ví dụ

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 24 x + 12 y - 15 = 0$

Bước 1

Tìm các hoành độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm (các) hoành độ gốc, thay vào $0$ cho $y$ và giải tìm $x$ .

$3 x^{2} + 3 {(0)}^{2} - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Bước 1.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn $3 x^{2} + 3 {(0)}^{2} - 24 x + 12 (0) - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 0 - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Bước 1.2.1.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Bước 1.2.1.1.3

Nhân $12$ với $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 24 x + 0 - 15 = 0$

Bước 1.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} + 0 - 24 x + 0 - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.2.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 0 - 15 = 0$

Bước 1.2.1.2.2

Cộng $3 x^{2} - 24 x$ và $0$ .

$3 x^{2} - 24 x - 15 = 0$

Bước 1.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} - 24 x - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 24 x - 15 = 0$

Bước 1.2.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) - 15 = 0$

Bước 1.2.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Bước 1.2.2.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Bước 1.2.2.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (x^{2} - 8 x - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x^{2} - 8 x - 5$ cho $1$ .

$x^{2} - 8 x - 5 = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$x^{2} - 8 x - 5 = 0$

Bước 1.2.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 8$ , và $c = - 5$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.3

Cộng $64$ và $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Bước 1.2.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.3

Cộng $64$ và $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Bước 1.2.7.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Bước 1.2.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 4 + \sqrt{21}$

Bước 1.2.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.3

Cộng $64$ và $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Bước 1.2.8.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Bước 1.2.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 4 - \sqrt{21}$

Bước 1.2.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 4 + \sqrt{21}, 4 - \sqrt{21}$

Bước 1.3

(các) hoành độ gốc ở dạng điểm.

(các) hoành độ gốc: $(4 + \sqrt{21}, 0), (4 - \sqrt{21}, 0)$

Bước 2

Tìm các tung độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm (các) tung độ gốc, thay vào $0$ cho $x$ và giải tìm $y$ .

$3 {(0)}^{2} + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Bước 2.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn $3 {(0)}^{2} + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Bước 2.2.1.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$0 + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Bước 2.2.1.1.3

Nhân $- 24$ với $0$ .

$0 + 3 y^{2} + 0 + 12 y - 15 = 0$

Bước 2.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 3 y^{2} + 0 + 12 y - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Cộng $0$ và $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} + 0 + 12 y - 15 = 0$

Bước 2.2.1.2.2

Cộng $3 y^{2}$ và $0$ .

$3 y^{2} + 12 y - 15 = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2} + 12 y - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2}$ .

$3 (y^{2}) + 12 y - 15 = 0$

Bước 2.2.2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $12 y$ .

$3 (y^{2}) + 3 (4 y) - 15 = 0$

Bước 2.2.2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 15$ .

$3 y^{2} + 3 (4 y) + 3 \cdot - 5 = 0$

Bước 2.2.2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2} + 3 (4 y)$ .

$3 (y^{2} + 4 y) + 3 \cdot - 5 = 0$

Bước 2.2.2.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (y^{2} + 4 y) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (y^{2} + 4 y - 5) = 0$

Bước 2.2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Phân tích $y^{2} + 4 y - 5$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 5$ và tổng của chúng là $4$ .

$- 1, 5$

Bước 2.2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$3 ((y - 1) (y + 5)) = 0$

Bước 2.2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$3 (y - 1) (y + 5) = 0$

Bước 2.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$y - 1 = 0$

$y + 5 = 0$

Bước 2.2.4

Đặt $y - 1$ bằng $0$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đặt $y - 1$ bằng với $0$ .

$y - 1 = 0$

Bước 2.2.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 1$

Bước 2.2.5

Đặt $y + 5$ bằng $0$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Đặt $y + 5$ bằng với $0$ .

$y + 5 = 0$

Bước 2.2.5.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - 5$

Bước 2.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 (y - 1) (y + 5) = 0$ đúng.

$y = 1, - 5$

Bước 2.3

(các) tung độ gốc ở dạng điểm.

(các) tung độ gốc: $(0, 1), (0, - 5)$

Bước 3

Liệt kê các phần giao.

(các) hoành độ gốc: $(4 + \sqrt{21}, 0), (4 - \sqrt{21}, 0)$

(các) tung độ gốc: $(0, 1), (0, - 5)$

Bước 4