Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16$

Bước 1

Đặt $x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16$ bằng với $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$- 5 x^{3} - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Bước 2.1.2

Đưa $- 5 x$ ra ngoài $- 5 x^{3} - 20 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $- 5 x$ ra ngoài $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Bước 2.1.2.2

Đưa $- 5 x$ ra ngoài $- 20 x$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot 4 + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Bước 2.1.2.3

Đưa $- 5 x$ ra ngoài $- 5 x (x^{2}) - 5 x (4)$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Bước 2.1.3

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Bước 2.1.4

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 16 = 0$

Bước 2.1.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 4^{2} = 0$

Bước 2.1.5.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Bước 2.1.5.3

Viết lại đa thức này.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Bước 2.1.5.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 4$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(u + 4)}^{2} = 0$

Bước 2.1.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Bước 2.1.7

Đưa $x^{2} + 4$ ra ngoài $- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Đưa $x^{2} + 4$ ra ngoài $- 5 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Bước 2.1.7.2

Đưa $x^{2} + 4$ ra ngoài ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4) = 0$

Bước 2.1.7.3

Đưa $x^{2} + 4$ ra ngoài $(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x + x^{2} + 4) = 0$

Bước 2.1.8

Giả sử $u = x$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 u + u^{2} + 4) = 0$

Bước 2.1.9

Phân tích $- 5 u + u^{2} + 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.9.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $4$ và tổng của chúng là $- 5$ .

$- 4, - 1$

Bước 2.1.9.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x^{2} + 4) ((u - 4) (u - 1)) = 0$

Bước 2.1.10

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Bước 2.1.10.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x^{2} + 4) (x - 4) (x - 1) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 2.3

Đặt $x^{2} + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $x^{2} + 4$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Bước 2.3.2

Giải $x^{2} + 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 4$

Bước 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Bước 2.3.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Bước 2.3.2.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Bước 2.3.2.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Bước 2.3.2.3.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Bước 2.3.2.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm i \cdot 2$

Bước 2.3.2.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \pm 2 i$

Bước 2.3.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2 i$

Bước 2.3.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2 i$

Bước 2.3.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2 i, - 2 i$

Bước 2.4

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 2.5

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.5.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x^{2} + 4) (x - 4) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 2 i, - 2 i, 4, 1$

Bước 3