Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(4 + 4 i)}^{5}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.2

Nhân $4^{4}$ với $4$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Di chuyển $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.2.2

Nhân $4$ với $4^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.2.3

Cộng $1$ và $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.4

Nhân $5$ với $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.6

Nhân $10$ với $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 i$ .

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.8

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.9

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.10

Nhân $640 (16 \cdot - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Nhân $16$ với $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.10.2

Nhân $640$ với $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.11

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.12

Nhân $10$ với $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.13

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.14

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.15

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.16

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.17

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.18

Nhân $- 1$ với $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.19

Nhân $- 64$ với $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.20

Nhân $5$ với $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.21

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.22

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.23

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.23.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.23.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.23.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.24

Nhân $20 (256 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.24.1

Nhân $256$ với $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.24.2

Nhân $20$ với $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

Bước 2.1.25

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

Bước 2.1.26

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

Bước 2.1.27

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

Bước 2.1.28

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.28.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

Bước 2.1.28.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

Bước 2.1.28.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

Bước 2.1.29

Nhân $i$ với $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $10240$ khỏi $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Bước 2.2.2

Cộng $- 9216$ và $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

Bước 2.2.3

Trừ $10240 i$ khỏi $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

Bước 2.2.4

Cộng $- 5120 i$ và $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

Bước 3

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 4

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế của $a = - 4096$ và $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

Bước 6

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nâng $- 4096$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

Bước 6.2

Nâng $- 4096$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

Bước 6.3

Cộng $16777216$ và $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

Bước 6.4

Viết lại $33554432$ ở dạng $4096^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $16777216$ ra ngoài $33554432$ .

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

Bước 6.4.2

Viết lại $16777216$ ở dạng $4096^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

Bước 6.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

Bước 7

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

Bước 8

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- 4096}{- 4096}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ ba, giá trị của góc là $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Bước 9

Thay các giá trị của $θ = \frac{5 π}{4}$ và $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$