Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(z^{2} + 8 z)}^{2} + 23 (z^{2} + 8 z) + 112 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giả sử $u = z^{2} + 8 z$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $z^{2} + 8 z$ .

$u^{2} + 23 u + 112 = 0$

Bước 1.2

Phân tích $u^{2} + 23 u + 112$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $112$ và tổng của chúng là $23$ .

$7, 16$

Bước 1.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u + 7) (u + 16) = 0$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $z^{2} + 8 z$ .

$(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Bước 3

Đặt $z^{2} + 8 z + 7$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $z^{2} + 8 z + 7$ bằng với $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

Bước 3.2

Giải $z^{2} + 8 z + 7 = 0$ để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Phân tích $z^{2} + 8 z + 7$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $7$ và tổng của chúng là $8$ .

$1, 7$

Bước 3.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(z + 1) (z + 7) = 0$

Bước 3.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 7 = 0$

Bước 3.2.3

Đặt $z + 1$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đặt $z + 1$ bằng với $0$ .

$z + 1 = 0$

Bước 3.2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$z = - 1$

Bước 3.2.4

Đặt $z + 7$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đặt $z + 7$ bằng với $0$ .

$z + 7 = 0$

Bước 3.2.4.2

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$z = - 7$

Bước 3.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(z + 1) (z + 7) = 0$ đúng.

$z = - 1, - 7$

Bước 4

Đặt $z^{2} + 8 z + 16$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $z^{2} + 8 z + 16$ bằng với $0$ .

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Bước 4.2

Giải $z^{2} + 8 z + 16 = 0$ để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$z^{2} + 8 z + 4^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Bước 4.2.1.3

Viết lại đa thức này.

$z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Bước 4.2.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = z$ và $b = 4$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Bước 4.2.2

Đặt $z + 4$ bằng $0$ .

$z + 4 = 0$

Bước 4.2.3

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$z = - 4$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$ đúng.

$z = - 1, - 7, - 4$