Giải tích sơ cấp Ví dụ

$9 x^{2} + 9 y^{2} - 6 x + 24 y = 19$

Bước 1

Chia cả hai vế của phương trình cho $9$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 1$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Bước 2.3.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{3}$ vào tử số.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2.3.4

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{3}$

Bước 2.3.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{1}{3}$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.1.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.1.6

Nhân $\frac{4}{9}$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Bước 2.4.2.1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 2.4.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 2.4.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Bước 2.4.2.2

Trừ $\frac{1}{9}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Bước 3

Thay ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ cho $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Bước 4

Di chuyển $- \frac{1}{9}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{1}{9}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{8}{3}$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Bước 5.3.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{4}{3}$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{8}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.1.1.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4}$

Bước 5.4.2.1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = 0 - (\frac{64}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 5.4.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $64$ .

$e = 0 - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 5.4.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 5.4.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{16}{9}$

Bước 5.4.2.2

Trừ $\frac{16}{9}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{16}{9}$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ .

${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$

Bước 6

Thay ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ cho $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Bước 7

Di chuyển $- \frac{16}{9}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{16}{9}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$

Bước 8

Rút gọn $\frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19 + 1 + 16}{9}$

Bước 8.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $19$ và $1$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{20 + 16}{9}$

Bước 8.2.2

Cộng $20$ và $16$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{36}{9}$

Bước 8.2.3

Chia $36$ cho $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = 4$