Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 4 x e^{x} \csc (x)$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x e^{x} \csc (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x e^{x} \csc (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{x} \csc (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x e^{x}$ và $g (x) = \csc (x)$ .

$4 (x e^{x} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Bước 3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1))$

Bước 6.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x e^{x} + e^{x}))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (x e^{x}) + \csc (x) e^{x})$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (x e^{x} (- \csc (x) \cot (x))) + 4 (\csc (x) (x e^{x})) + 4 (\csc (x) e^{x})$

Bước 7.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 x e^{x} (\csc (x) \cot (x)) + 4 \csc (x) (x e^{x}) + 4 \csc (x) e^{x}$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 4 e^{x} x \cot (x) \csc (x) + 4 e^{x} x \csc (x) + 4 e^{x} \csc (x)$