Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sqrt{3} \cos (2 x) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Bước 1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Bước 3

Trừ $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 4.1.3

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Di chuyển $\sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1 = 0$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1 = 0$

Bước 4.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 = 0$

Bước 4.1.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Bước 5

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Phân tích $\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Bước 5.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 5.1.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Bước 5.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos (x)$ và $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Bước 5.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.3

Đặt $\cos (x) + \sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt $\cos (x) + \sin (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Bước 5.3.2

Giải $\cos (x) + \sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.3.2.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.3.2.4

Tách các phân số.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 5.3.2.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 5.3.2.6

Chia $0$ cho $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 5.3.2.7

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Bước 5.3.2.8

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = - 1$

Bước 5.3.2.9

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 1)$

Bước 5.3.2.10

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.10.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 5.3.2.11

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 5.3.2.12

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.12.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 5.3.2.12.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 5.3.2.13

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.13.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.3.2.13.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.3.2.13.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.3.2.13.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.3.2.14

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.14.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + π$

Bước 5.3.2.14.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.3.2.14.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.14.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.3.2.14.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 5.3.2.14.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.14.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 5.3.2.14.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 5.3.2.14.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 5.3.2.15

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.4

Đặt $\cos (x) - \sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đặt $\cos (x) - \sin (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 5.4.2

Giải $\cos (x) - \sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.4.2.3

Tách các phân số.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.4.2.4

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.4.2.5

Chia $- 1$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.4.2.6

Tách các phân số.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 5.4.2.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 5.4.2.8

Chia $0$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 5.4.2.9

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Bước 5.4.2.10

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 1$

Bước 5.4.2.11

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.11.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.4.2.11.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.11.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.4.2.11.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.4.2.11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.11.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Bước 5.4.2.12

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (1)$

Bước 5.4.2.13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.13.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 5.4.2.14

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 5.4.2.15

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.15.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 5.4.2.15.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.15.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 5.4.2.15.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 5.4.2.15.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.15.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 5.4.2.15.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 5.4.2.16

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.16.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.4.2.16.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.4.2.16.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.4.2.16.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.4.2.17

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.5

Đặt $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.5.2

Giải $\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Trừ $\sqrt{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Bước 5.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 5.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 5.5.2.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 5.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 5.5.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 5.5.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 5.5.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{3}$

Bước 5.5.2.6

Rút gọn $π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 5.5.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 5.5.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 5.5.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.6.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Bước 5.5.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Bước 5.5.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.5.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.5.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.5.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.5.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Hợp nhất các câu trả lời.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hợp nhất $\frac{3 π}{4} + π n$ và $\frac{π}{4} + π n$ để $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6.2

Hợp nhất $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ và $\frac{5 π}{4} + π n$ để $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7