Giải tích sơ cấp Ví dụ

$z^{6} = i$

Bước 1

Thay $u$ bằng $z^{6}$ .

$u^{6} = i$

Bước 2

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 3

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của $a = 0$ và $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Bước 5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 1$

Bước 6

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Bước 7

Vì đối số không xác định và $b$ dương, nên góc của điểm trên mặt phẳng phức là $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Bước 8

Thay các giá trị của $θ = \frac{π}{2}$ và $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Bước 9

Thay thế vế phải của phương trình bằng dạng lượng giác.

$u^{6} = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Bước 10

Sử dụng định lý De Moivre để tìm một phương trình cho $u$ .

$r^{6} (c o s (6 θ) + i s i n (6 θ)) = i = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Bước 11

Đặt mô-đun của dạng lượng giác bằng $r^{6}$ để tìm giá trị của $r$ .

$r^{6} = 1$

Bước 12

Giải phương trình để tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[6]{1}$

Bước 12.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$r = \pm 1$

Bước 12.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$r = 1$

Bước 12.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$r = - 1$

Bước 12.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$r = 1, - 1$

Bước 13

Tìm giá trị xấp xỉ của $r$ .

$r = 1$

Bước 14

Tìm các giá trị có thể có của $θ$ .

$c o s (6 θ) = c o s (2 π n)$ và $s i n (6 θ) = s i n (2 π n)$

Bước 15

Tìm tất cả các giá trị khả thi của $θ$ để có được phương trình $6 θ = 2 π n$ .

$6 θ = 2 π n$

Bước 16

Tìm $θ$ cho $r = 0$ .

$6 θ = 2 π (0)$

Bước 17

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Nhân $2 π \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$6 θ = 0 π$

Bước 17.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$6 θ = 0$

Bước 17.2

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 0$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 0$ cho $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Bước 17.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Bước 17.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{0}{6}$

Bước 17.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.1

Chia $0$ cho $6$ .

$θ = 0$

Bước 18

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{6} = i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Bước 19

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Nhân $\cos (0) + i \sin (0)$ với $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Bước 19.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Bước 19.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Bước 19.2.3

Nhân $i$ với $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Bước 19.3

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{0} = 1$

Bước 20

Thay $z^{6}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{0} = 0 + 1$

Bước 21

Tìm $θ$ cho $r = 1$ .

$6 θ = 2 π (1)$

Bước 22

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Nhân $2$ với $1$ .

$6 θ = 2 π$

Bước 22.2

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 2 π$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 2 π$ cho $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Bước 22.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Bước 22.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{2 π}{6}$

Bước 22.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{6}$

Bước 22.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Bước 22.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Bước 22.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \frac{π}{3}$

Bước 23

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{6} = i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 24

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Nhân $\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$ với $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$

Bước 24.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Bước 24.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 24.2.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 25

Thay $z^{6}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{1} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 26

Tìm $θ$ cho $r = 2$ .

$6 θ = 2 π (2)$

Bước 27

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Nhân $2$ với $2$ .

$6 θ = 4 π$

Bước 27.2

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 4 π$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 4 π$ cho $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Bước 27.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Bước 27.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{4 π}{6}$

Bước 27.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 π$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{6}$

Bước 27.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Bước 27.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Bước 27.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Bước 28

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{6} = i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 29

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Nhân $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ với $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 29.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 29.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 29.2.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Bước 29.2.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 29.2.5

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 30

Thay $z^{6}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 31

Tìm $θ$ cho $r = 3$ .

$6 θ = 2 π (3)$

Bước 32

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1

Nhân $3$ với $2$ .

$6 θ = 6 π$

Bước 32.2

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 6 π$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 6 π$ cho $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Bước 32.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Bước 32.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{6 π}{6}$

Bước 32.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \frac{6 π}{6}$

Bước 32.2.3.1.2

Chia $π$ cho $1$ .

$θ = π$

Bước 33

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{6} = i$ .

$u_{3} = 1 (\cos (π) + i \sin (π))$

Bước 34

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1

Nhân $\cos (π) + i \sin (π)$ với $1$ .

$u_{3} = \cos (π) + i \sin (π)$

Bước 34.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.2.1

$u_{3} = - \cos (0) + i \sin (π)$

Bước 34.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{3} = - 1 \cdot 1 + i \sin (π)$

Bước 34.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{3} = - 1 + i \sin (π)$

Bước 34.2.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{3} = - 1 + i \sin (0)$

Bước 34.2.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{3} = - 1 + i \cdot 0$

Bước 34.2.6

Nhân $i$ với $0$ .

$u_{3} = - 1 + 0$

Bước 34.3

Cộng $- 1$ và $0$ .

$u_{3} = - 1$

Bước 35

Thay $z^{6}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{3} = 0 - 1$

Bước 36

Tìm $θ$ cho $r = 4$ .

$6 θ = 2 π (4)$

Bước 37

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 37.1

Nhân $4$ với $2$ .

$6 θ = 8 π$

Bước 37.2

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 8 π$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 37.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 8 π$ cho $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Bước 37.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 37.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 37.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Bước 37.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{8 π}{6}$

Bước 37.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 37.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 37.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 π$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{6}$

Bước 37.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 37.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 (3)}$

Bước 37.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 \cdot 3}$

Bước 37.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \frac{4 π}{3}$

Bước 38

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{6} = i$ .

$u_{4} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Bước 39

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 39.1

Nhân $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ với $1$ .

$u_{4} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Bước 39.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 39.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$u_{4} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Bước 39.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Bước 39.2.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 39.2.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 39.2.5

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 40

Thay $z^{6}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{4} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 41

Tìm $θ$ cho $r = 5$ .

$6 θ = 2 π (5)$

Bước 42

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 42.1

Nhân $5$ với $2$ .

$6 θ = 10 π$

Bước 42.2

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 10 π$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 42.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 θ = 10 π$ cho $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Bước 42.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 42.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 42.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Bước 42.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{10 π}{6}$

Bước 42.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 42.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 42.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 π$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{6}$

Bước 42.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 42.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Bước 42.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Bước 42.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Bước 43

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{6} = i$ .

$u_{5} = 1 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Bước 44

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 44.1

Nhân $\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$ với $1$ .

$u_{5} = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Bước 44.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 44.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{5} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Bước 44.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Bước 44.2.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 44.2.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 44.2.5

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 45

Thay $z^{6}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{5} = 0 + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 46

Đây là những đáp án số phức cho $u^{6} = i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{3} = - 1$

$z_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$