Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (\tan^{-1} (u) - \cos^{-1} (v))$

Bước 1

Áp dụng đẳng thức hiệu của góc $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\tan^{-1} (u)) \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, u)$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\tan^{-1} (u)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, u)$ . Do đó, $\cos (\tan^{-1} (u))$ là $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.2

Nâng $\sqrt{1 + u^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.3

Nâng $\sqrt{1 + u^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ ở dạng $1 + u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + u^{2}}$ ở dạng ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.3.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.4

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.5

Kết hợp $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ và $v$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.6

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, u)$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\tan^{-1} (u)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, u)$ . Do đó, $\sin (\tan^{-1} (u))$ là $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.7

Nhân $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Nhân $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.2

Nâng $\sqrt{1 + u^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.3

Nâng $\sqrt{1 + u^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.6

Viết lại ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ ở dạng $1 + u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + u^{2}}$ ở dạng ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.8.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Bước 2.1.9

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ , $(v, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\cos^{-1} (v)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ . Do đó, $\sin (\cos^{-1} (v))$ là $\sqrt{1 - v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}}$

Bước 2.1.10

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}}$

Bước 2.1.11

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = v$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$

Bước 2.1.12

Nhân $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.1

Kết hợp $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ và $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}}$

Bước 2.1.12.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$

Bước 2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v + u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$