Giải tích sơ cấp Ví dụ

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$1 + \cot^{2} (- θ)$

Bước 2

Vì $\cot (- θ)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\cot (- θ)$ ở dạng $- \cot (θ)$ .

$1 + {(- \cot (θ))}^{2}$

Bước 3

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết $\cot (θ)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$1 + {(- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Bước 3.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 1 \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Nhân $\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$ với $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 4

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Bước 5.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \sin (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Bước 5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 6

Viết lại $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ ở dạng $\csc^{2} (θ)$ .

$\csc^{2} (θ)$

Bước 7

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$ là một đẳng thức